INFO 3 DS n° 6 1S1 17/02/10

                  INFO 3     DS  n°  6               1S1                    mercredi 17 février 2010                  

        EXERCICE 3         7 POINTS
                      Le plan est muni d'un repère orthonormal direct  ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).
              Soit les points A( -2 ,0 ), B ( 2 , 0) et C ( 0 , 2√3 ).
              Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) et ( B , 2 ).
              Soit G ' le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) et ( B , - 2 ).

           1. Faire une figure.

           2. Quelle est la nature du triangle ABC ?

           3. a. Donner une équation de la médiatrice du segment [AC].

               b. Trouver l'équation du cercle circonscrit au triangle ABC.

           4. Soit le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

               Donner les coordonnées du point D.

           5. Déterminer et représenter l'ensemble W des points M du plan tels que :

                     ( vect( MA ) + 2 vect( MB ) ).  ( vect( MA ) - 2 vect( MB ) )  = 0 

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 Réponse:
                   1. Figure.

                         

                   2.Nature du triangle ABC.

                    Il est équilatéral.

                   En effet:

                   •Les points A( - 2 ; 0 ) et B ( 2 ; 0 ) sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

                   L'axe des ordonnées est donc la médiatrice Δ du segment [ AB].

                   Comme C appartient à   Δ  le triangle est isocèle en C.

                    • De plus  AB = 4

                      En effet:

                     On a vect( AB ) de coordonnées  ( 4 ; 0) donc AB = 4

                    D'autre part le vecteur  vect( AC ) a pour coordonnées (  2 ; 2 √3 ).

                     Donc AC = √ ( 2² + ( 2  √ 3)² ) = √ ( 4 + 12  ) = 4

                    AC = AB . Ainsi le triangle est aussi isocèle en A.

                            Conclusion : La triangle ABC est équilatéral.     

                3. a. Donnons une équation de la médiatrice L du segment [ AC ].

                        Le point I  milieu du segment [AC] a pour coordonnées ( -1 ; √3  )

                 La droit L passe par le point I  et est de vecteur normal  vect( AC ) de coordonnées ( 2  ; 2√3 ).

                 Une équation de L est de la forme  2 x + 2 √3  y + c = 0.

                 Mais les coordonnées de I vérifient l'équation de la droite L.

                 Ainsi :     2 ( - 1 ) + 2 √3  ( √3 ) + c = 0

               D'où     4 + c = 0   c-à-d    c = - 4 

                Donc         L :  2 x + 2 √3  y - 4  = 0.

                   Conclusion :     L :   x + √3  y - 2 = 0.         ( c-à-d   y =( - 1 /  √3 ) x + 2 /  √3    )   

                         b. Donnons  l'équation du cercle circonscrit au triangle ABC.

                             • Son centre est le point  Ω d'intersection des deux médiatrice L et l'axe des ordonnées.

                                Considérons le système de leurs deux équations:

                                   y =( - 1 /  √3 ) x + 2 /  √3  

                                   x = 0

                                  Donc on a le point Ω ( 0 ;  2 /  √3   ) 

                                  c-à-d   Ω ( 0 ; ( 2 √3 ) / 3   ).

                                    ( On peut trouver cette information en remarquant que Ω  est aussi

                                     le centre de gravité du triangle équilatéral ABC. 

                                       Donc  Ω  est au tiers de la médiane [ CO ] . )

                              • Son rayon est  Ω C.

                               Or  le vecteur  vect( ΩC ) a pour coordonnées  (  0 ;  2 √3  - ( 2 √3 ) / 3  )

                                 c-à-d  (  0 ; ( 4 √3 ) / 3  )

                                Ω C =  ( 4 √3)  / 3  

                                ( On peut trouver cette information en remarquant que Ω  est aussi

                                     le centre de gravité du triangle équilatéral ABC. 

                                     ΩC  est donc égal aux  2 / 3 de la longueur OC.   )

 

                  Conclusion:   l'équation de Γ est  :  ( x - 0 )² +( y -  2 /  √3 )² =  16 / 3  

 

             4. Donnons les coordonnées du point D.

                       Soit (   x ,   y )   les coordonnées de D.

                     On a :   vect ( CD ) = vect ( BA )   car ABCD est un parallélogramme.

                          c-à-d    les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées

                           c-à-d       x - 0  = - 2 - ( 2 )

                                         y -  2√3 =  0 - 0

                           c-à-d       x = - 4

                                          y =  2 √3

                        Conclusion:      On a  D( - 4 ;    2 √3  )    

              5. Trouvons l'ensemble W  des points M du plan tels que :

                      ( vect( MA ) + 2 vect( MB ) ).  ( vect( MA ) - 2 vect( MB ) )  = 0         ( 1 )

                   D'après la propriété fondamentale :

   vect( MA ) + 2 vect( MB )= ( 1 + 2 ) vect( MG )   comme G est le barycentre de ( A , 1 ) et ( B , 2 )  .

  vect( MA ) - 2 vect( MB )= ( 1 - 2 ) vect( MG )   comme G ' est le barycentre de ( A , 1 ) et ( B ,  - 2 )  .

  Donc l'égalité ( 1 ) s'écrit :    (  3 vect( MG ) )   . ( - vect( MG ' )   ) = 0

               c-à-d     vect( MG )    . vect( MG ' )  = 0

                          Ainsi :

                           Conclusion: L'ensemble cherché W  est le cercle de diamètre [ GG ' ] .  

             Pour placer G et G ' on utilise:

                          vect( AG ) = ( 2 / (1 + 2   ) ) vect( AB) = ( 2 / 3 ) vect (AB )

                            vect( AG ' ) = ( - 2 / ( 1 - 2  ) ) vect( AB) = 2 vect (AB )