INFO Maths.approfondies ex 2 BTS SIO 2017

                            INFO  Ex 2   Mathématiques approfondies  BTS SIO    2017 

                              Services informatiques aux organisations épreuve facultative

         EXERCICE 2         10 points
 

        Le chiffre d’affaires d’une start-up, dès son lancement, est modélisé par la fonction
        f définie pour tout réel x de l’intervalle [4 ; 10] par :
        f (x) = x − 3 + ln(2 x − 4 )
        où x est exprimé en mois et f (x) en dizaines de milliers d’euro.
        On note Cf  la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé

        Rep45
                                 PARTIE 1 : Étude de la fonction f  
      1. Un logiciel de calcul formel permet d’établir que pour tout réel x de l’intervalle [4 ; 10] :
                f ′(x) = 1 + 1 / ( x − 2 ).
         a. Cette question est une question à choix multiple. Une seule des trois expressions A, B, C,
              est correcte. Recopier sur la copie l’expression correcte,sans justification.
               A : f ′( x ) =( x − 1) / (x − 2 )
               B : f ′( x ) = 2 / ( x − 2 )
               C : f ′( x ) = x / ( x − 1 )

               REPONSE:

             La bonne réponse est A : f ′( x ) = ( x − 1) / (x − 2 ) pour tout réel x de l’intervalle [4 ; 10]

           car  pour tout réel x de l’intervalle [4 ; 10]

                     1 + 1 / ( x − 2 ) = ( 1× (  x − 2 ) + 1 ) / ( x − 2 ) = ( x − 1) / ( x − 2 )
          b. Quel est le signe de f ′( x ) sur l’intervalle [4 ; 10] ?
        

              REPONSE:

                Soit  x de l’intervalle [4 ; 10] .

                On a:    x − 1 > 0 et x − 2 > 0 

                 Donc  ( x − 1) / ( x − 2 ) > 0

                c-à-d   f '( x ) > 0

                Conclusion :    f '  > 0 sur [4 ; 10]

          c. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle [4 ; 10].
              On arrondira les valeurs de f (4) et f (10) au centième.

             REPONSE: 

            On a :   f ( 4 ) ≈ 2,3863   et   f( 10 )  ≈ 9,7726

      Au10
          d. Cette question est une question à choix multiple. Une seule des trois propositions A, B, C est correcte.
               Recopier la proposition correcte, sans justification :
                 • Proposition A : « L’équation f (x) = 3 admet une unique solution alpha
                                              dans l’intervalle [4 ; 10], avec α ≈ 4,3 (arrondi au dixième) ».

                 • Proposition B : « L’équation f (x) = 3 admet une unique solution alpha
                                            dans l’intervalle[4 ; 10], avec α = 4,42 (arrondi au centième) »,
                 • Proposition C : « L’équation f (x) = 3 admet deux solutions distinctes
                                                α et β dans l’intervalle [4 ; 10] ».

              REPONSE:           

            Conclusion : La bonne réponse est B
            Explications non demandées:            

            f( x ) =3 admet une unique solution sur l’intervalle [4 ; 10] car

                 f est définie continue et strictement croissante sur l’intervalle [4 ; 10]

                 avec     f( 4)  ≤   3 ≤  f( 10 ).

               On peut rejeter la réponse C car f ne peut pas y prendre deux fois la valeur 3.

               On a :   f( 4,42)  ≤   3 ≤  f( 10 )   car    f( 4,42) ≈  2,99    et f( 10 ) ≈ 9,77           

               C'est donc bien   α = 4,42 (arrondi au centième)   qui correpond à f( x ) = 3

      2. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant, en arrondissant les ré-
           sultats au centième.

x   4   5      6     7    8   9    10 
f (x)  2,39  3,79 5,08 6,30  7,48  8,64 9,77

      3. Tracer la courbe Cf dans le repère
               
Rep45
            On pourra choisir 1 cm pour unité.
             Placer sur cette courbe le point A d’abscisse α.

          REPONSE:

           Au13 1
      4. a. Sur le graphique précédent, hachurer le domaine dont l’aire s’exprime par
              l’intégrale :
                    
Au9   , en unité d’aire.

           REPONSE:

                Voir le domaine sous la courbe sur l'intervalle [4; 8 ]
          b. Sur l’intervalle [4 ; 8], on approche la courbe Cf par un segment de droite,
               dont les extrémités sont les points de la courbe Cf ayant pour abscisses 4
               et 8.
               En utilisant cette approximation graphique, donner une valeur approchée à l’unité de l’intégrale I.

            REPONSE:

                 Le segment de droite est d'extrémités les points de coordonnées K ( 4, f( 4 ) )  et  B( 8 , f( 8) )

                Soit les points E( 4;0)  et G( 8 ; 0 ).

                L'aire sous ce segment est celle d'un trapèze rectangle KBGE d'aire:

                   (   (  EK + GB ) / 2 ) ( 8 − 4)

                  Ainsi  l'aire est en u.a :

                   (  ( f( 4 ) + f( 8 )) / 2 ) ( 8 − 4) = 2 ( f( 4 ) + f( 8 ) )

                            f ( 4 ) ≈  2,39

                            f( 8 ) ≈  7,48

                    Ainsi :   2 ( f( 4 ) + f( 8 ) ) ≈  19,74

                L'uité d'aire est 1 cm2

           Conclusion :     I ≈  19,74    cm2

            Directement à la calculatrice on aurait : 20,14   cm2

        c. En déduire la valeur approchée à l’unité de la valeur moyenne de la fonction I sur l’intervalle [4 ; 8].

            REPONSE:

                 On a :        m = ( 1 / ( 8 − 4 )×  I

                  c-à-d          m ≈ 0,25 × 19,74

                                      m ≈  4,935

            Conclusion :   m ≈   5            à l’unité
                                     PARTIE 2 : Interprétations


      1. Combien de mois après son lancement le chiffre d’affaires de cette start-up
           atteint-t-il 30 000 euros, selon le modèle adopté dans cet exercice ?

           REPONSE:

               30 000 euros = 3   dizaines de milliers d'euros

               Cela correspond à f ( x) = 3

               Ainsi  x   = α

                 c-à-d   x   ≈ 4,42   mois

             Conclusion : Au bout de 4,42   mois  . (On peut prendre 5 mois. )
      2. Donner une estimation du chiffre d’affaires moyen par mois de cette start-up
          entre le 4e et le 8e mois.

          REPONSE:

           Une estimation du chiffre d’affaires moyen par mois  est donnée par la valeur

            moyenne m  de f sur l'intervalle [4;8].

             m  ≈ 5

           Donc:   l'estimation est     50 000 euros

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