INFO :Activité de dem.du petit th de Fermat

          INFO   Activité sur le Petit Th. de Fermat                         Mai 2017  TS spé

   ACTIVITE:

     Le petit Th. de Fermat  dit: 

  ap ≡ a  [ p ]  pour tout entier naturel a et tout nombre premier p  

       Ce qui s'écrit aussi:

        ap − a ≡ 0  [ p ]  pour tout entier naturel a et tout nombre premier p 

     ou encore :

        p |   ap − a   pour tout entier naturel a et tout nombre premier p ?

      Le but de cette activité est de le justifier en répondant à une série de questions.

   Partie A.

      Soit p un nombre premier et a un entier naturel qui n'est pas un multiple de p.

      On considère M = { a ; 2 a ; 3 a ;   ....   ;  ( p − 1 ) a }

      M est donc l'ensemble des multiples non nuls de a qui sont strictement inférieurs à  p×a.

  1. Montrer qu'aucun élément de M n'a un reste nul dans la division euclidienne par p.

       REPONSE:

       Soit n un élément de M.

       Alors il existe un entier k l'ensemble { 1 ; 2 ; 3 ; ....;  p − 1 } tel que n =  ka .

       Raisonnons par l'absurde:

       Supposons que le reste de la division de n par p soit nul

       c-à-d   supposons que  p | n  .

       On a :   1 ≤ k < p    

       Donc p ne divise pas k.

       p est premier

       Donc p n'admet que deux diviseurs distincts 1 et p.

        Le seul diviseur commun entre k et p est donc 1

        PGCD( k , p ) = 1

        Or   p | n    c-à-d     p | ka

        D'après le Th de Gauss p | a

        Donc a serait un multiple de p .

        Ce qui est contraire aux hypothèses.

      Conclusion:  Pour tout n dans M, le reste de la division

      de n par p n'est pas nul.

     2. Montrer que deux éléments distincts de M ont des restes distincts

        dans la division euclidienne par p.

         REPONSE:

          Soit n et n' dans M .

          Il existe distincts  k et k ' dans l'ensemble { 1 ; 2 ; 3 ; ....;  p − 1 } avec   k  k'.

          Prenons k > k ' ( même raisonnement pour k < k ' )

         Raisonnons par l'absurde:

          Supposons que n' et n ,   ont le même reste dans la division euclidienne par p.

           c-à-d    k a ≡  k ' a  [ p ]

           c-à-d    k a −   k' a ≡ 0  [ p ]

          c-à-d    ( k − k' ) a = 0  [ p ]

          c-à-d   p |   ( k − k' ) a

           On a :     1 ≤ k < p  et  1 ≤ k' < p  

           c-à-d       1 ≤ k < p    et   − p <  − k ' ≤   − 1

         Donc        1 − p < k − k'  <  p − 1        par somme membre à membre

          Mais       k > k'    c-à-d    0 < k − k'

           Donc :    0 < k − k'  <  p − 1  

           c-à-d    1 ≤   k − k'  <  p − 1  

         D'après l'argumentation déjà expliquée de la  question précédente ( utlisant Gauss)

         mais cette fois avec   k − k'  au lieu de k  on peut déduire que  p  ne peut  pas  diviser  ( k − k' ) a

          Contradiction.

        Conclusion:  Deux éléments distincts de M n'ont pas le même reste

           dans la division euclidienne par p.

     3. En déduire que les restes dans la division euclidienne par p des

        éléments de M , sont à l'ordre près 1 ; 2 ; ... ;   p − 1  ​.

          REPONSE:

           Soit n un élément quelconque de M.

          Soit r le reste d la division euclidienne de n par p.

          Alors :   n   r [ p ]        avec    0 ≤  r < p

          Donc     0 ≤  r  ≤   p − 1   

          Mais  r ne peut pas être nul.

          puisque, d'après la première question, aucun élement de M

          n'a un reste nul dans la division par p.

          Ainsi :  0 <  r  ≤   p − 1   

          Les restes r sont de plus tous différents.

          Ainsi pour tout n dans M, les p − 1  restes de la division euclidienne de n par p

          sont donc les entiers:

              1 ; 2 ; ... ;    p − 1  

          Conclusion: Le résultat est avéré.

    4. Soit N le produit des éléments de M.

      a . Montrer que N  = ( p − 1)! a p − 1​  . 

          REPONSE:

        On a :

             N = 1a × 2a  × 3a  × ..     × ( p − 1 ) a

       Donc, comme il y a  p − 1  facteurs  a

            N = 1 × 2 × 3 .....× ( p − 1 ) × ap − 1​ 

      c-à-d

        Conclusion:

            N =  ( p − 1 )! × ap − 1​ 

     b. De la question 3, déduire que N  ≡ ( p − 1)!   [ p ]   .

         REPONSE:

           On a les   p − 1  éléments de  M que sont a ; 2a ; 3a ; ....;  ( p − 1)a

           qui ont chacun un reste différents  r1 ,r2 ,  ...    , rp − 1  dans la division

           euclidienne par p.

         r1 ,r2 ,  ...    , rp − 1  sont  les entiers distincts de l'ensemble { 1 ; 2 ; ... ; p − 1 }  

          d'après la question n°3.

         Ainsi :           a  ≡ r1   [ p ]       avec      

                             2 a  ≡ r2   [ p ]

                                      ......

                          ( p − 1) a  ≡ rp − 1   [ p ]

                      --------------------------------------

        Le produit donne :   1a × 2a  × 3a  × ....  × ( p − 1 ) a  ≡  r1  × r2  × ...     × rp − 1   [ p ]

            c-à-d                              N  ≡  1 × 2 × ... × ( p − 1 )   [ p ]

           c-à-d    

           Conclusion:       N  ≡    ( p − 1)!   [ p ]

    c. En déduire que  ( p − 1)! ( a p − 1​  − 1)  ≡ 0  [ p ]   .

        Puis que     a p − 1​  ≡  1  [ p ].

         REPONSE:

           La congruence  N  ≡   ( p − 1)! [ p ]  

          comme N = ( p − 1)! a p − 1​ 

        s'écrit :       ( p − 1)! a p − 1​  ≡   ( p − 1)! [ p ]  

         c-à-d              ( p − 1)! a p − 1​  −  ( p − 1)!  ≡   0 [ p ]

          c-à-d         ( p − 1)!  ( a p − 1​  − 1 )  ≡   0 [ p ]

          De plus :

             Ainsi :     p |    ( p − 1)! ( a p − 1​  − 1)

           Mais        PGCD( p − 1)!  , p ) = 1

            Donc d'après le Th de Gauss

                       p | a p − 1​  − 1

           c-à-d      a p − 1​  − 1  ≡   0   [ p ]

           c-à-d        a p − 1​    ≡ 1    [ p ]

    Conclusion : On a les deux congruences demandées.

      Partie B

      Déduire de la partie a que p divise  a p   − a  

      pour tout nombre premier p et tout entier naturel a.

       ( c-à-d    le petit Th de Fermat )

     REPONSE:

      Soit p un nombre premier quelconque. 

     Soit a un entier naturel.

      • Cas:   p ne divise pas a.

       On vient de voir dans ce cas que:      a p − 1​  − 1 ≡ 0   [ p ]

         Donc,  en multipliant par a,  il vient :

                a × a p − 1​ − a × 1 ≡ 0   [ p ]

            c-à-d       a p ​ − a ≡   [ p ]

            c-à-d       p |  a p ​ − a

        • Cas:   p  divise  a.

           Comme     p | a   et   p |   a p          p ≥ 2   

             On a :  p |  a p ​ − a

         Conclusion : Le Th de Fermat est prouvé.

                       ----------------------