INFO LISTE 2 EX LOGIQUE BTS

   

 LISTE 2           EXERCICES DE LOGIQUES                 BTS                 Nov. 08 


 

 

   EX.1                   Soit la fonction f: x →  x²  - 3 x + 1 

                 1. Quels sont les antécédents de 1 par f ?

                      2. f est -elle une injection de IR dans IR ?

                3.  Développer ( x - 3 / 2 ) ²   - 5 / 4.

                4.  - 2 admet-il un antécédent par f dans IR ?

                5 . f est-elle une surjection de IR sur IR ?

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  REP.    1. Considérons pour cela f( x ) =1.

                c-à-d    x² - 3 x +1 = 1

                  c-à-d      x² - 3 x  = 0   c-à-d   x ( x - 3 ) = 0

               c-à-d      x = 0 ou x = 3

            Conclusion :    1 admet deux antécédents par f qui sont 0 et 3.

             2.  Non.  f ne peut pas être une injection.

                 En effet. 

                Contre exemple.

                   0 ≠ 3           Or    f( 0 ) = f ( 3 ) = 1

                 f ne conserve pas la distinction.

            3. Développons ( x - 3 / 2 ) ² - 5 / 4.

                 ( x - 3 / 2 ) ² - 5 / 4 = x² - 2 ×( 3 / 2 ) x + ( 3 / 2 )²  - 5 / 4

            c-à-d       ( x - 3 / 2 ) ² - 5 / 4 = x² - 3 x + 9 / 4  -   5 / 4  

                 Conclusion: ( x - 3 / 2 ) ² - 5 / 4 = x² - 3 x + 1  .       

               4. Regardons si f(x ) = - 2 admet une solution. 

                  Considérons  ( x - 3 / 2 ) ² - 5 / 4 = - 2

                 c-à-d              ( x - 3 / 2 ) ² - 5 / 4  + 8 /4 = 0

                 c-à-d                ( x - 3 / 2 ) ² + 3 / 4 = 0

                     C'est impossible car   ( x - 3 / 2 ) ² + 3 / 4  >= 3/ 4

                 Conclusion : - 2 n'admet aucun antécédent par f.

                4. NON. f n'est pas une surjection de IR sur IR.

                    - 2  par exemple n'admet aucun antécédent par f.


EX .2             Soit  les ensembles E = { a , b , c , d , e }        et F = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }

                           1. Citer une bijection de E sur F.

                           2. Combien d'applications de E dans F  y a-t-il ?

                           3. Combien d' injections de E dans F y a-t-il ?

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   REP.       1. Citons une bijection de E sur F.

                     Soit l'application de E dans F définie par:

                      f( a) = 1     f( b ) = 2     f( c ) = 3    f( d ) = 4   f( e ) = 5 .

                     Tout élément de F admet un unique antécédent par f dans E .

                       L'antécédent de 1 est a.

                       L'antécédent de 2 est b. 

                       etc ...           .........

                       L'antécédent de 5 est e.

                    Conclusion :  On a bien donné une bijection de E sur F.   

                  2. Dénombrons  les applications de E sur F.  

                         Schéma:        I 5 I 5 I 5 I 5 I 5 I   

                        Il y a cinq images possibles pour a  , cinq images possibles pour b ,

                            .. etc ......  ,

                         cinq images possibles pour e.

                        D'après le " principe multiplicatif " il y a  5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 55

                         applications de E dans F.

                       Conclusion: Il y a 3125  aplication de E dans F.

                   3. Dénombrons les injections de E dans F.

                     Schéma :          I 5 I 4 I 3 I 2 I 1 I      

                    Comme il a conservation de la distinction :

                        Il y a cinq images possibles pour a  .

                        Il n'y a plus ensuite que quatre images possibles pour b .

                         Il n'y a plus alors que trois images possibles pour c.

                          Puis il n'y a plus que deux images possibles pour d

                          Enfin il n'y a plus qu'une image possible pour e.

                        D'après le " principe multiplicatif " il y a  5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5!

                         injections de E dans F.

                   Conclusion:  120  injections sont possibles de E dans F 

 


   EX.3     Donner la négation de l'affirmation suivante:

                        Pour tout réel  a ,   a²   = 4   => (   a = 2  ou  a  =  - 2  )

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  REP.              Il existe au moins un réel a ,  a² = 4  et   NON( a = 2 ou a = - 2 )

              Conclusion:    La négation est:

                           Il existe au moins un réel a ,  a² = 4  et   a ≠ 2 et  a  ≠ - 2 .

             On a utilisé le fait que la négation de p => q , est la négation de NON( p )  ou q ,

              c-à-d  p ET  NON(  q ).


    EX.4          Montrer que:  

                     Pour tout entier naturel non nul n , 

                      1 + .........+ n  =  n( n + 1 ) ) / 2          =>          1 + ............+ ( n + 1 ) =  ( ( n + 1 ) ( n + 2 )  ) / 2

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  REP.     On a : 1 + .........+ n  =  n( n + 1 ) ) / 2     Donc en ajoutant n + 1  à chaque membre il vient:

               1 + .........+ n + ( n+ 1 ) = n( n + 1 ) ) / 2  +( n+ 1 )

                Donc   1 + ............+ ( n + 1 ) = 1 + .........+ n + ( n+ 1 ) = n( n + 1 ) ) / 2  +( n+ 1 )

               Par réduction au même dénominateur on a:

                    1 + ............+ ( n + 1 ) = (   n (n + 1 ) + 2( n + 1) ) / 2 

                Puis par factorisation de n + 1 on a :

           1 + ............+ ( n + 1 ) =( ( n + 1 ) (  n  + 2) ) / 2 

            Conclusion : L'implication est avérée.