INFO EX 1 DS TS1 18 avril 2015

             INFO    DS   du 18 avril 2015    TS1

              EXERCICE 1

             Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si

             elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

             Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.

             Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.

             Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

             L'espace est muni d'un repère orthonormé 

                Repere 1.

               On considère les points  A ( 1 ; 2 ; 5 )  , B( − 1 ; 6 ; 4 )  ,

                   C( 7 ; − 10 ; 8 )  , D( − 1 ; 3 ; 4 ).

            1.   Proposition 1 :

                       Les points A , B , C définissent un plan.

            2. On admet que les points A , B et D définissent un plan.

                Proposition 2 :

                     Une équation cartésienne du plan ( ABD ) est :

                                       x − 2 z + 9 = 0

            3. Proposition 3 :

                  Une représentation paramétrique de la droite ( AC ) est:

                       x = − 5 + 1,5 t

                       y =  14  − 3 t 

                       z = 2  − 1,5 t              

                    où  t est un nombre réel

             4.    Soit le plan P d'équation cartésienne 2 x − y + 5 z = 0

                   et  P ' le plan d'équation cartésienne  − 3x − y + z + 5 = 0.

                      Proposition 4 :

                        Les plans P et P ' sont parallèles.           

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              REPONSE:

      1.   NON la proposition 1 est fausse .

         En effet :

            Considérons les vecteurs 

              Vec ab ac

           On peut remarquer que l'on a :

                           6 = − 2 × ( − 3 )

                         − 12 = 4 × ( − 3 )

                            3 = − 1 × ( − 3 )

             c-à-d

                    Abetcdcol

            On peut aussi dire:

           Coli

           Ainsi comme les deux vecteurs sont colinéaires ,

          A ,B et C sont alignés. Ils ne définissent donc pas un plan.

         2. OUI  la proposition 2 est vraie .

              En effet:

           On a admis que le plan ( ABD ) existait .

           Il admet donc une équation cartésienne.

          L'équation proposée  x − 2 z + 9 = 0   est bien une équation

          de plan et  est vérifiée par les coordonnées des points A , B , D

         car :

                 1 − 2 × 5 + 9 = 0

                 − 1 − 2 × 4  + 9 = 0

                  − 1 − 2 × 4  + 9 = 0

           Le plan ( ABD ) qui est unique, admet bien    x − 2 z + 9 = 0

          comme équation cartésienne.

         3.   NON  la proposition 3 est fausse.

                 En effet:

              La représentation paramétrique proposée est celle d'une droite

            de vecteur directeur

                               Vu 1

          Or les vecteurs

                 1hj5

            sont bien non nuls mais  ne sont pas colinéaires.

               Soit λ un nombre réel.

                L'égalité

                         1bg5

                     se traduit par:

                           3 / 2 = 6  λ

                         − 3 = − 12  λ

                        − 3 / 2  = 3  λ

                 se traduit par :

                              λ = 1 / 4

                              λ = 1 / 4

                              λ = −  1 / 2      Contradiction 

          Donc la représentation paramétrique fournie n'est pas

         celle de la droite ( AC ) .

         4.  Non la proposition 4 est fausse.

              En effet:

                  Par lecture des équations cartésiennes 

                   un vecteur normal à P est:

                             1k78p 1

                   un vecteur normal à P '  est:

                           1k78p1

                  Or ces deux vecteurs ont la même seconde coordonnée qui est − 1

                  en n'ayant pas la même première coordonnée.

                  Ils ne sont donc pas colinéaires.

                 Donc les deux plans ne sont pas parallèles.

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