Devoir maison 1 du 24/09/10 TS

Devoir maison 1 du 24/09/10 TS

                 Devoir Maison  n° 1       pour le 24 septembre 2010           TS

                  Extrait d'un exercice de bac des Antillles.

    1. Pour tout  nombre complexe z on considère

                     f( z ) = z4 - 1 0 z+ 38 z2 - 90 z + 261

           a. Soit b un nombre réel .

               Exprimer en fonction  de b les parties réelle et imaginaire de f( i b ).

               En déduire que l'équation f( z ) = 0 admet deux nombres imaginaires purs comme solution.

          b. Montrer qu'il existe deux nombres complexes α et β , que l'on déterminera, tels que ,

              pour tout nombre complexe z ,     f( z ) = ( z² + 9) ( z² +  α z +  β ) .

            c. Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation f( z ) = 0.

     2.   Le plan complexe ( P ) est rapporté à un repère orthonormal.

            a.    Placer dans le plan ( P ) les points A , B , C , et D , ayant respectivement

                   pour affixes :    a = 3i  , b = - 3 i ,  c = 5 + 3 i et d = 5 -2 i

            b.    Déterminer l'affixe de l'isobarycentre G des point A, B , C , D.

            c.    Déterminer l'ensemble ( E ) des points M de ( P ) tels que :

                    || vect( MA ) + vect( MB ) + vect( MC) + vect( MD ) ||  = 10.

                   Tracer ( E ) sur la figure précédente.

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