Devoir Maison n° 1 pour le 24 septembre 2010 TS
Extrait d'un exercice de bac des Antillles.
1. Pour tout nombre complexe z on considère
f( z ) = z4 - 1 0 z3 + 38 z2 - 90 z + 261
a. Soit b un nombre réel .
Exprimer en fonction de b les parties réelle et imaginaire de f( i b ).
En déduire que l'équation f( z ) = 0 admet deux nombres imaginaires purs comme solution.
b. Montrer qu'il existe deux nombres complexes α et β , que l'on déterminera, tels que ,
pour tout nombre complexe z , f( z ) = ( z² + 9) ( z² + α z + β ) .
c. Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation f( z ) = 0.
2. Le plan complexe ( P ) est rapporté à un repère orthonormal.
a. Placer dans le plan ( P ) les points A , B , C , et D , ayant respectivement
pour affixes : a = 3i , b = - 3 i , c = 5 + 3 i et d = 5 -2 i
b. Déterminer l'affixe de l'isobarycentre G des point A, B , C , D.
c. Déterminer l'ensemble ( E ) des points M de ( P ) tels que :
|| vect( MA ) + vect( MB ) + vect( MC) + vect( MD ) || = 10.
Tracer ( E ) sur la figure précédente.
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