∞ INFO DEVOIR n° 4 DERIVATION 1S 1 Samedi 29 Nov 08
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EX. 1 Soit les deux fonctions f: x → - 3 x² + 2 et g : x → 6 / x - 7 .
Soit ( C ) et ( C ' ) les courbes de f et g respectivement dans un repère
orthonormal du plan.
1. Montrer que ( C ) et ( C ' ) ont la même tangente T au point d'abscisse 1.
2. Donner l'équation réduite de T.
REP. 1. Les courbes des fonctions f et g ont la même
tangente au point d'abscisse 1
si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées:
• f( 1 ) = g( 1 )
• f '( 1 ) = g '( 1 )
Voyons si ces conditions sont remplies.
• On a : f( 1 ) = - 3 + 2 = - 1
On a : g( 1 ) = 6 - 7 = - 1
Donc on a bien la condition f( 1 ) = g ( 1 ) .
• Par ailleurs:
• • La fonction polynôme f est définie et dérivable dans IR .
On a f ' : x→ - 3 ( 2 x ) c-à d f ' : x → - 6 x
Ainsi: f '( 1 ) = - 6
• • La fonction g : x → 6 / x - 7 est définie et dérivable
dans IR• .
On a : g : x → 6 ( 1 / x ) - 7
Donc g ' : x → 6 ( - 1 / x2 )
c-à-d g ' : x → - 6 / x2
Ainsi g '( 1 ) = - 6
Donc on a bien la condition f '( 1 ) = g '( 1 ).
Conclusion : OUI. Les courbes ( C ) et ( C ' ) de f et g
respectivement ont bien la même tangente T
au point d'abscisse 1.
2. Trouvons l'équation réduite de T.
Deux méthodes sont possibles.
• Méthode 1: Avec le point A ( 1 , - 1 ) de Tet le coefficient
directeur - 6 de T.
L'équation est de la forme : y = - 6 x + b
Les coordonnées du point A vérifient cette équation.
Donc : - 1 = - 6 ( 1 ) + b .
D'où - 1 + 6 = b
c-à-d b = 5
Conclusion: On a T : y = - 6 x + 5
• Méthode 2: Avec l''équation y = f ' ( 1 ) ( x - 1 ) + f ( 1 )
Il vient : y = - 6 ( x - 1 ) - 1
c-à-d y = - 6 x + 6 - 1
c-à-d y = - 6 x + 5
Même conclusion: On a T : y = - 6 x + 5
EX. 2 Soit la fonction f : x → ( 3 x + 2 ) / ( x - 2 ).
1. a.Trouver deux réels a et b de façon que f( x ) = a + b / ( x - 2 )
pour tout x dans IR - { 2 }.
b. Ecrire f comme comme composée de trois fonctions simples u , v , w .
2. Donner le sens de variation de f à l'aide de ceux de u , v et w .
3. Trouver la fonction dérivée de la fonction f dans IR - { 2 }.
4. Déterminer le signe de la fonction dérivée f '
sur les intervalles de IR - { 2 }.
5. Faire le tableau de variation de f en mettant une ligne pour
le signe de f '( x ).
Quel lien remarquez-vous entre le signe de f '(x) et le sens
de variation de la fonction f ?
REP. 1.a. Recherche des réels a et b.
La fonction f est définie dans IR - { 2 }.
On peut effectuer une division:
Ainsi : 3 x + 2 = 3 ( x - 2 ) + 8
| 3 x + 2 | ¦ x - 2 |
| - ( 3 x - 6 ) | ¦ 3 |
| 8 |
Donc : ( 3 x + 2 ) / ( x - 2 ) = 3 + 8 / ( x - 2 )
pour tout x dans IR - { 2 }.
Conclusion : a = 3 et b = 8
b. Décomposons f puis donnons son sens de variation.
Soit les fonctions u : x → x - 2
v : x → 1 / x
w : x → 3 + 8 x
• La fonction affine u est définie strictement croisssante et non
nulle dans IR - { 2 }.
• La fonction v est définie et strictement décroissante dans IR• .
• La fonction affine w est strictement croissante dans IR.
On a : f = w ο v ο u .
Conclusion: La fonction f est strictement décroissante
dans IR - { 2 }.
3 . Donnons la fonction dérivée f ' de f .
( Méthode avec l'expression de f donnée au départ. )
Soit les fonctions v : x → x - 2
u : x → 3 x + 2
Les fonctions u et v ( de cette question ) sont définies ,
dérivables dans IR.
v est non nulle dans IR - { 2 }.
On a: f = u / v
Ainsi u / v , c-à-d f , est définie et dérivable dans IR - { 2 }.
De plus : f ' = ( u / v ) ' = ( v u ' - u v ' ) / v²
On a : u ' : x → 3
et v ' : x→ 1
Soit x dans IR - { 2 }.
f '( x ) = ( ( x - 2 ) 3 - ( 3 x + 2 ) 1 ) / ( x - 2 ) ²
c-à-d f '( x ) = ( 3 x - 6 - 3 x - 2 ) / ( x - 2 )²
c-à-d f ' ( x ) = - 8 / ( x - 2 )²
Conclusion: f ' : x → - 8 / ( x - 2 )² sur IR - { 2 }.
4. Donnons le signe de f '( x ) suivant x dans IR - { 2 }.
- 8 < 0 et ( x - 2 )² > 0 pour tout x dans IR - { 2 }.
Donc - 8 / ( x - 2 )² < 0 pour tout x dans IR - { 2 }.
Conclusion: f ' < 0 sur IR - { 2 }.
5. Tableau de variation de f .
x
- ∞ 2 + ∞
f '( x )
- ¦¦ -
f ( x )
↓ ¦¦ ↓
On constate que
f ' < 0 sur l'intervalle ] - ∞ , 2 [ et sur l'intervalle ] 2 , + ∞ [
coincide avec f est strictement décroissante sur ces deux intervalles.
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EX 3 Soit la fonction f : x→ - 3 / ( 3 x² + 4 ) définie dans IR.
Doner une aproximation affine de f ( 1 + h ) pour h voisin de 0.
( On fera appel pour cela au résultat de cours :
f ( 1 + h ) ≈ f( 1 ) + h f '( 1 ) avec h proche de 0 )
REP. On peut utiliser un cas particulier de la dérivation d'un quotient.
On a le résultat suivant :
" Soit u une fonction définie , dérivable et non nulle dans un intervalle I.
Alors la fonction 1 / u est définie et dérivable dans l'intervalle I.
De plus on a : ( 1 / u ) = - u ' / u² sur I. "
BIEN ENTENDU ON N'EST PAS OBLIGE d'utiliser ce résultat .
On peut utiliser le quotient normal.
Soit la fonction u : x → 3 x² + 4 .
u est définie , dérivable et non nulle dans IR.
Donc la fonction 1 / u est définie et dérivable dans IR.
On a : f = - 3 ( 1 / u )
Ainsi la fonction - 3 ( 1 / u ) c-à-d f est définie et dérivable dans IR.
De plus : f ' = - 3 ( 1 / u ) ' = - 3 ( - u ' / u² )
On a : u ' : x → 6 x
Soit x dans IR.
f ' ( x ) = - 3 ( - ( 6 x ) / ( 3 x² + 4 )² )
f ' ( x ) = 18x / ( 3 x² + 4 )²
Ainsi f ' ( 1 ) = 18 / 49.
Par ailleurs on a : f( 1 ) - 3 / 7
Comme f ( 1 + h ) ≈ f( 1 ) + h f '( 1 ) avec h proche de 0 .
il vient :
Conclusion: f ( 1 + h ) ≈ - ( 3 / 7 ) + h ( 18 / 49 ) avec h proche de 0 .
EX. 4 Soit f une fonction définie et dérivable dans l'ensemble D et qui soit paire , c'est-à-dire , telle que: • Pour tout x dans D , - x est dans D. • f ( - x ) = f( x ) pour tout x dans D. On prendra dans l'exercice D = IR. 1. Montrer que f '( - x ) = - f '( x ) pour tout x dans IR. ( On pourra faire appel au résultat de cours suivant: Soit a et b sont deux réels et f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle I . Alors : La fonction g : x→ f ( a x + b ) est définie et dérivable en tout réel x tel que a x+ b soit dans I . De plus g' ( x ) = a f '( a x + b ) pour tout x tel que a x + b soit dans I. ) 2. Que peut- on dire sur la parité de f ' ? Rappel: Une fonction f définie dans l' ensemble D est dite impaire quand: • Pour tout x dans D , - x est dans D. • Pour tout x dans D, f( - x ) = - f( x ) REP. 1. Montrons qur f '( - x ) = - f '( x ) pour tout x dans IR. Soit la fonction g : x → f( - x ) Comme f est définie et dérivable dans IR on a g qui est dérivable dans IR . De plus g' : x → ( - 1 ) f ' ( - x ) c-à-d g ' : x → - f ' ( - x ) Mais comme la fonction f est paire on a : f( - x ) = f ( x ) pour tout x dans IR. Alors la fonction g est aussi g : x → f (x ) Donc g ' : x → f ' (x ) Ainsi : Conclusion: f ' ( x ) = - f ' ( - x ) pour tout réel x. 2. On peut en déduire que f ' est une fonction impaire. En effet: Pour tout x dans IR - x dans IR. Pour tout x dans on a : f ' ( - x ) = - f '( x ).