COURS: Fonction ln

                   Cours sur la fonction ln               2012 -2013           TS1

       INTRODUCTION:

         Pendant longtemps la fonction ln a été définie dans le programme de terminale

        comme LA primitive, sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [,   de la fonction  inverse  x → 1 / x 

       qui s'annule en x = 1.

        Cette définition demeure vraie et utile dans les exercices.

        Mais dans le programme actuel elle est introduite comme:

        la fonction qui à tout réel  a > 0 associe l'unique solution b dans IR de  l'équation e^b = a.

       Sans le dire, ln  est définie comme " la bijection réciproque de la fonction exp ".

       Mais la notion de bijection n'est pas dans le programme.

                Schéma :                     Soit  a > 0 et b dans IR  .

                                       On a :   e^b = a   <=>   b = ln a  

          1. Généralisation du Th de la bijection.

                  Soit f une fonction définie continue et strictement monotone sur un intervalle I

                  Alors:

                   f ( I ) est un intervalle.

                  Le tableau suivant permet de préciser l'intervalle f( I ).

                  a et b sont soit des réels soit - ∞ soit + ∞.

         De plus :

                Pour tout k dans l'intervalle f(I) il existe un unique α dansl'intervalle I tel que f( α ) = k.

                         ( k est un élément de f ( I ) fixé )

       2. Exemple:

               Trouver exp(IR )

                    Réponse: 

            On sait que :

                exp est définie continue et strictement croissante sur l'intervalle ] - ∞ , + ∞ [ .

                lim exp = + ∞    et        lim exp  = 0

                 + ∞                                   - ∞  

              D'après le Th de la bijection généralisé on a :

                Conclusion:

                  exp( ] - ∞ , + ∞ [ ) = ] 0 , + ∞ [

             3. Définition actuelle de la fonction ln.

                 C'est la fonction qui à tout réel a > 0 associe l'unique réel b tel que e^b = a.

            4. Propriété:

                       Pour tout réel x on a :      ln ( exp ( x )) = x  

                       Pour tout réel x strictement positif  on a :     exp( ln ( x ))  = x

            5. Courbe de ln.

       Dans un repère orthonormé les courbes des fonctions exp et ln sont

          symétriques par rapport à la première bissectrice D.

              Explication:

            (Rappel : la réflexion d'axe la droite  D : y = x 

                 transforme le point de coordonnées ( x  , y  ) en le

               point de coordonnées ( y , x )   )

             Ainsi pour  montrer  que les courbes C _exp   et  C_ln    sont  

             symétriques par rapport à D  il suffit d'établir deux choses:

              • Pour tout  b dans IR, l'image du  point M( b , e^b ) par s_D est sur la courbe de ln . 

                      c-à-d      M ' (   e^b , b )  est  sur la courbe de ln 

                      c-à-d      ln(  e^b ) =  b               Ce qui est vrai.

                             On a donc:

                                          ( 1 )

                           Ainsi:

              • Pour tout  a > 0, l'image du  points N( a , ln( a ) )  par s_D  est  sur la courbe de exp .

                           c-à-d    N ' (  ln( a )  , a )  est sur la courbe de exp

                           c-à-d     exp( ln( a ) ) = a                Ce qui est vrai.

                               On a donc :

                                                    ( 3 )

                 Ainsi ( 2 )  et ( 3 )  montrent que :

      6. Remarque importante:

               Comment montrer que deux réels a et b  sont égaux ?

                 Il suffit de connaître une fonction f définie et strictement monotone sur un

                 intervalle I qui contient a et b et qui vérifie f( a ) = f( b) .

     7. Proposition.

               La fonction ln ( c'est visible sur la courbe) est strictement croissante sur ] 0 , + ∞ [.

           Explication :

               Soient a > 0  et b > 0.

               Supposons que   a < b  

               Comme   a = e^{ln a}      et     b = e^{ln b}    

                il vient      e^{ln a}      <   e^{ln b}  

                Or exp est strictement croissante sur IR

                  Donc   ln a < ln b

        8. Remarque:

             Soit   a > 0  et  b > 0.

            On a les équivalences suivantes disponibles dans les exercices.

             ln( a )= ln ( b )      <=>   a = b

             ln( a ) < ln ( b )        <=>     a < b

            ln ( 1 ) = 0     ln ( e ) = 1    car   exp( 0 ) = 1   et exp ( 1 ) =e 

        9. Proposition:

           Soit a > 0  et   b > 0.

                Alors:    ln ( a b ) = ln ( a ) + ln( b )

                Explication:

              La fonction exp est strictement monotone sur IR.

              Il suffit donc de vérifier que :    e ^{ln ( a b )}    = e ^{ln ( a ) + ln( b )}

                      Or   :      e ^{ln ( a b )}    =  ab

                               et      e ^{ln ( a ) + ln( b )}   =  e^{ln a}    e^{ln b}    =   a b

               Donc    la condition suffisante     e ^{ln ( a b )}    = e ^{ln ( a ) + ln( b )}   est bien vérifiée.

        10. Proposition:

                 Soit a > 0    b > 0    n entier relatif.

                Alors:

         Explication:

             • Pour la première, on peut la déduire de

            • La seconde résulte de l'égalité précédente et de la proposition précédente

               en considérant que  a / b = a ( 1 / b )

           • La troisième égalité se montre par récurrence sur IN puis en considérant

               pour les entiers n négatifs   aⁿ  = 1 /  a ^{- n}    

             • La dernière égalité se montre en vérifiant que  2 ln(  √a ) = ln( a  )

      11.   Proposition:

              La fonction ln est définie et dérivable dans  ] 0 , + ∞ [ et 

                sa fonction dérivée est x → 1 / x.   

    12. Proposition.

            Soit u une fonction définie, dérivable et strictement positive sur l'intervalle I.    

            alors la fonction ln o u est définie et dérivable dans I et l'on a :

                        (  ln o u ) '  = u ' / u             sur I  

              Explication:

            On a :

               • u une fonction définie, dérivable et strictement positive sur l'intervalle I.    

               •  ln est définie et dérivable sur IR^{+ *}   .

              Donc , d'après le cours sur la dérivation de la composée de deux fonctions,

               ln o u est définie et dérivable dans I   et  de plus :

                         (  ln o u ) '  = ln ' o u  ×  u '  

                         Mais         ln ' : x → 1 / x  sur ] 0 , + ∞  [

                       Donc     ln ' o u  = 1 / u 

             Ainsi :  

                      (  ln o u ) '  = (  1 / u )  ×  u '    = u ' / u

              d'où         (  ln o u ) '  =  u ' / u

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