INFO 2 FEUILLE EX NUMERATION

                           INFO 2   FEUILLE D'EXERCICES DE NUMERATION                     SEPT 2011             BTS 

               EXERCICE 4

    1. Comment reconnait-on dans l'écriture binaire d'un entier qu'il est pair ou impair?

    2. Comment reconnait-on dans l'écriture binaire d'un entier qu'il est divisible par 4 ou non ?

 

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      Réponse:

           1. En binaire un entier pair se termine( à droite) par 0.

               En binaire un entier impair se termine ( à droite  ) par 1.

           En effet:

            • Quand on écrit l'entier comme polynôme de puissances de 2

                si la plus petite puissance de 2 est 21   on peut le factoriser par 2.

                Il est donc pair. 

 

              • Par contre quand on écrit l'entier comme polynôme de puissances

                de 2   si la plus petite puissance de 2 est 20   on ne peut pas le factoriser par 2.

                Il est donc impair.

         2. En binaire un entier divisible par 4 se termine à droite par 00.

               En effet :             

                Quand on écrit l'entier comme polynôme de puissances de 2

                si la plus petite puissance de 2 est 22   on peut le factoriser par 22.

                Il est alors divisible par 4.

               Sinon il n'est pas divisible par 4

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         EXERCICE 5  

                1. Donner la forme binaire et la forme décimale du plus grand entier

                    que l'on puisse écrire avec 4 bits.

              2. Donner l'écriture en base 10 d'un nombre qui s'écrit en base 2 avec un 1 suivi de

                   k - 1 zéros où k est un entier naturel non nul.

              3. Donner l'écriture en base 10 d'un nombre qui s'écrit en base 2 avec k bits tous

                 égaux à 1 , k est un entier naturel non nul.

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   Réponse :

              1.  Le plus grand nombre de 4 bits en binaire est ( 1111 ) 2            

                   1 x 23 + 1 x 22 +1 x 21 + 1 x 20       

                  est le plus grand entier que l'on puisse écrire comme polynôme de

                 puissance de 2  avec des exposants de 0 à 3 .

                    ( 1111 )2  =   1 x 23 + 1 x 22 +1 x 21 + 1 x 20     = 15

                   Cela correspond à l'entier 15 en système décimal.

             2.   Un nombre qui s'écrit en base 2 avec un 1 suivi de

                   k - 1 zéros où k est un entier naturel non nul est  2k - 1  .

                En effet :

                     1 x  2k - 1  + 0+....+ 0 x 20    =  1 0000000...00   avec k - 1  zéros

               3.  Un nombre qui s'écrit en base 2 avec k bits tous

                   égaux à 1 , k est un entier naturel non nul

                   est égal à      1 x 2k - 1 +        + 1 x 20    =   2k    - 1  

                  On reconnait la somme des k premiers termes d'une suite

                  géométrique de raison 2 et de premier terme 1.

                  1 x 2 + ...... + 1 x 2k - 1   = 1 x ( 1 - 2k ) / ( 1 - 2 )  = 2k    - 1 

              Par exemple:        ( 1111 )2   s'écrit  avec 4 bits 1.

                   On a vu  plus haut que c'était 15 en décimal.

                  En considérant  k = 4 dans la formule précédente on retrouve

                 ce résultat.

                            ( 1111 )2   =   24    - 1  = 15

                 On retrouve le résultat de la question n°1 de cet exercice.

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