INFO Dv n° 3 TS1 maison 11 octobre 2014

                        INFO   DV n° 3    pour le      11 octobe 2014             TS1    

          EXERCICE 1

                   Soit la suite récurrente ( un ) définie sur IN par:

                             u0 = 1   

                           u n + 1  = f( un )     pour tout n dans IN

                              avec la fonction      f : x  x / ( x + 2 )

                1. Montrer que la suite ( un ) est à termes positifs sur IN.

                    Faisons une récurrence sur IN.

                  •n = 0

                       On a :   u0 = 1

                   Donc   u0 ≥ 0    C'est donc vrai pour n = 0

                 •Soit n dans N quelconque.

                   Montrons que si un ≥ 0  alors  un + 1 ≥ 0.

                 Considérons :     un ≥ 0

                 La fonction rationnelle f est définie et dérivable sur l'intervalle ] - 2 , + ∞ [.

                    Pour tout x ≥ - 2  

                     x / ( x + 2 ) = ( x +  2  - 2  ) / ( x + 2

                     Ainsi sur ] - 2 , + ∞[     f : x  - 2 / ( x + 2 )

                     Elle est de la forme   f = 1 - 2 ( 1 / u )   avec u : x  x + 2

                     Sa fonction dérivée est donc  f ' = - 2 ( - u ' / u2 )

                      avec u ' : x  1

                      f ' : x  2 / ( x + 2 )2        

                      Ainsi       f ' > 0  sur ] - 2 , + ∞ [ 

                     f est donc strictement croissante sur ] - 2 , + ∞ [.

                     Comme   un ≥ 0   on a :

                       f ( un ) ≥ f ( 0)    

                       Or    f(0 ) = 0

                     D'où     un + 1  ≥ 0

                     Conclusion: La suite est bien à termes positifs sur IN

                2. Donner sur IN le sens de variation de la suite ( un ).  

                    Montrons que un + 1 ≤ un   pour tout n dans IN par récurrence.

                    n = 0

                          u0 = 1  

                        On a :     u1 = f( u0 ) = f( 1 ) =  1 / 3

                        Comme  1 /3 ≤ 1   on a bien   u1 ≤  u0   

                        L'inégalité est vraie au rang n = 0

                  • Soit n dans IN quelconque.

                     Montrons que si un + 1 ≤ un  alors un + 2 ≤ un + 1  

                     Considérons         un + 1 ≤ un    

                    Comme        0 ≤  un + 1    et f croissante sur [ 0 , + ∞ [ on a :

                         f( u n + 1 )  ≤   f ( un )

                           c-à-d 

                             un + 2 ≤  un + 1            

                   Conclusion : La suite est bien décroissante sur IN.

                3. Montrer qu'elle est convergente . On note L sa limite.

                    Quelle condition sur L a -t-on ?

                     La suite ( un ) est décroissante et minorée par 0 sur IN.

                     Donc elle converge.

                   En outre sa limité réelle L vérifie L ≥ 0 car la suite est à termes positifs

                 4. Donner au moyen de la calculatrice des valeurs approchées de

                   ses huit premiers termes.                    

n 0 1 2 3 4 5 6 7
un  1  1/ 3  1/7  1 /15  1 / 31  1 / 63  1 /127   1 /255

                5. On admet que quand l'entier n est très grand , un , un + 1  , L 

                    sont pratiquement confondus.

                    Quelle relation L vérifie-t-elle?

  ( Remarque: Plus tard dans l'année, on montrera que la fonction f est continue en L ≥ 0

     c-à-d   lim f( x ) = f ( L )  .

                   x  + ∞

      Mais comme pour la fonction rationnelle f  définie sur IRc'est trivial on n'en parle pas. )              

             On considère    simplement       L ≈ f( L ) 

                    c-à-d                 L = L / ( L + 2 )

                    c-à-d                L ( L + 2 ) = L

                    c-à-d                 L2 + 2 L = L

                    c-à-d  

                      Conclusion :               L2 + L = 0   avec L ≥  0

                6. Résoudre dans l'ensemble des réels positifs  l'équation x2 + x = 0.

                    En déduire L.

                       x2 + x = 0   s'écrit    x ( x + 1 ) = 0

                    c-à-d     x = 0 ou x = - 1

                    Mais x ≥ 0

                    Donc:

                                 Conclusion:  S[ 0 , + ∞ [  = { 0 }

                    On peut en déduire que:

                    Conclusion:     L = 0

                     La suite ( un ) converge vers 0

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              EXERCICE 2

               On considère la suite récurrente ( vn ) définie sur IN par:

                    v0 = a               où a est un réel fixé positif

                     vn + 1 = √( vn + 6 )   pour tout n dans IN

            1. Donner le sens de variation de la fonction f : x √( x + 6 )   sur

                l'intervalle  [ 0 , +  ∞ [.

                 La fonction f : x → √( x + 6 )  est définie sur [ - 6 , + ∞ [.

                 Elle est dérivable sur ] - 6 , + ∞  [

                  f ' : x 1 /( 2 √( x + 6 ) )

                 f ' > 0 sur  l'intervalle  ] - 6 , + ∞ [

                  Conclusion: La fonction f est donc strictement croissante

      sur l'intervalle [ - 6 , + ∞[.  ( On pouvait utiliser la composée de fonctions croissantes. )

            2. Montrer que la suite ( vn ) est minorée par 0 sur IN.

                     Montrons que  0 ≤ vn   pour tout n dans IN par récurence.

                    • n = 0

                     v0 = a 

                     Or   a ≥ 0

                      Donc    v≥ 0

                         C'est vrai pour n = 0

                    • Soit n dans IN quelconque.

                      Montrons que si   vn  ≥ 0 alors vn + 1   ≥ 0

                       Considérons   vn ≥ 0

                        Comme f est croissante sur l'intervalle [ - 6 , + ∞ [

                                           f ( vn ) ≥ f( 0 )

                        Or                f( 0 ) = √ 6    et √ 6 > 0

                         Donc          f( vn ) ≥ 0

                            c-à-d     vn + 1 ≥ 0

                      Conclusion: Le résultat est bien avéré sur IN

            3 . Dans chacun des cas suivants donner le sens

                de variation de la suite ( vn ) sur IN.

                   • a = 3

                   • a = 0

                   • a = 10

                 Le sens de variation de f permet-il de donner celui de la suite ( vn  )?   NON 

                  • cas: a = 3  

                                   La suite ( vn ) est constante sur IN

                                   car       vn  = 3   pour tout n dans IN

                          En effet faisons une récurrence:

                               •• n = 0     v= 3  

                               •• Soit n dans IN quelconque.

                                   Montrons que si vn = 3 alors v n + 1 = 3

                             Considérons vn = 3

                              Alors

                          vn + 1 = f( vn ) = f( 3 ) = √ ( 3 + 6 ) = √ 9 = 3

                              Le résultat est avéré.

                             La suite est à la fois croissante et décroissante sur IN

                  • cas :  a = 0     La suite ( vn ) est croissante sur IN.

                                   En effet montrons  par récurrence sur IN que    vn ≤ vn + 1  

                                  pour tout n dans IN : 

                              •• n = 0

                                      v0 = 0   et  v= √( 0 + 6 ) = √6

                                       Donc  v0 ≤ v1    C'st vrai pour n = 0

                             ••Soit n dans IN quelconque.

                                Montrons que si vn ≤ vn + 1  alors  vn + 1 ≤ vn + 2   

                                Considérons    vn ≤ vn + 1   

                                On sait que   0 ≤ vn   d'après la seconde question

                                Comme f est croissante sur [ - 6 , +∞ [ 

                                    on a     f(v )  ≤  f( vn + 1

                                      c-à-d     vn + 1  ≤  vn + 2

                            Le résultat est avéré sur IN                              

                   • cas : a = 10      La suite ( vn ) est décroissante sur IN

           Montrons par récurrence sur IN que vn + 1  ≤ vn   pour tout n dans IN.

                    ••  n = 0

                                 v0 = 10   et   v1 = √( 10 + 6 ) = 4

                         On a       v1 ≤ v0

                          C'est vrai pour n = 0

                    •• Soit n quelconque dans IN.

                          Montrons que si vn + 1 ≤ vn   alors  vn + 2 ≤ vn + 1 

                           Considérons :

                             vn + 1 ≤ vn 

                            On a vu dans la question précédente que la suite est à termes positifs

                            et f croissante sur l'intervalle [ - 6 , + ∞ [  .

                         Donc

                             f( vn + 1 ) ≤  f( vn )

                          c-à-d

                                  vn + 2  ≤ vn + 1

                    Le résultat est avéré sur IN 

            4. Dans cette question a = 0.

                   a.Montrer que la suite ( vn ) est majorée par 3 sur IN.

                      Montrons par récurrence que   v≤ 3  pour tout n dans IN

                        • n = 0

                              v= 0     On a bien 0 ≤ 3

                           c'est vrai pour n = 0

                      • Soit n dans IN quelconque.

                          Montrons que si   vn ≤  3  alors vn + 1  ≤  3

                          Considérons  0 ≤ vn ≤ 3

                        comme f est croissante sur  [ - 6 , + ∞ [ on a 

                            f ( vn ) ≤ f( 3 )  

                          Or    f ( 3 ) = √9 =3  

                           Ainsi  vn + 1 ≤ 3

                     Conclusion : La suite ( vn )  est bien majorée par 3  sur IN.

                b.Justifier que la suite ( vn ) converge vers un réel L. 

                      L est - il positif?

                      La suite( v) est croissante et majorée par 3 sur IN.

                      Donc d'après un résultat de cours:

                          Conclusion: elle converge.

                      Sa limite finie L est positive car la suite est à termes positifs.

                   c . Résoudre dans l'intervalle  [ 0 , +  ∞ [ l'équation  x2 - x - 6 = 0.

                         En déduire L.

                       •• On a:       Δ = b2 - 4 ac    

                            c-à-d              Δ = ( - 1 )2 - 4 × 1× (- 6 ) = 25 = 52  

                           Donc                 Δ > 0

                           Les solutions dans IR sont :

                         ( -  b - √ Δ )/ ( 2 a ) = ( 1 - 5 ) / 2 = - 2             qu'on ne retient pas

                    et      ( - b + √ Δ  ) / ( 2 a ) = ( 1 + 5 ) / 2 = 3     que l'on retient

                       Conclusion :    S[0 , + ∞[  = { 3 }

                   ••  En admettant que pour n très grand  vn , vn + 1 , L  soient

                     pratiquement confondus,  on a      L = √ ( L + 6 )    avec   0 ≤ L ≤ 3

                     Cette égalité se traduit par           L= L + 6   avec 0 ≤ L ≤ 3

                   c-à-d                                 L2 - L - 6 = 0     avec    0  ≤  L ≤ 3

                     D'après ce que l'on vient de montrer cela signifie que L = 3

                     Conclusion : L = 3 

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           EXERCICE 3

               Soient les trois suites définies sur IN de termes généraux :  

             wn = 2 / 5n                       hn = 3 ( √2 )n          dn =  ( - 1 )n / 5   pour tout n dans IN

             Etudier la convergence éventuelle de chacune.

             • On a :    wn = 2 × ( 1 / 5 )n    pour tout n dans IN

               Comme  - 1 < 1 / 5 < 1    on a        lim ( 1 / 5 )n  = 0 

                                                                      n  + ∞

              Donc   lim (2 ×( 1 / 5 )n   ) = 0

                          n → + ∞

               Conclusion :   lim wn = 0

                                     n   + ∞

           •  On a  √2  > 1   donc   lim ( √2  )n = + ∞

                                                n → +∞

                Donc     lim  ( 3 ( √2 )n  ) = + ∞

                             n  + ∞

                 Conclusion:   lim hn = + ∞

                                       n → + ∞

           •  On a    ( - 1 )n    qui n'a pas de limite. 

                     Donc ( 1 / 5 ) × ( - 1 )n   n'en a pas non plus 

                Conclusion: La suite ( dn ) n'a pas de limite.

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