INFO DV n ° 2 Maison du 12 nov. 2011 1ES-L

    INFO        Devoir maison   1 ES - L   samedi 12 novembre 2011     

             EXERCICE n ° 143 p 77

                     Un capital de 10 00 € est placé au taux t % pendant un an .

                      L'intérêt estcapitalisé et le nouveau capital est placé l'année

                      suivante au taux de ( t + 1 ) %.

                      En fin de deuxième année, le capital s'élève  à 11 130 €.               

                 1. Montrer que t est solution de l'équation :

                     ( 100 + t ) ( 101 + t ) = 11130

                 2. En déduire la valeur de t.

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              Réponse :

              1. Montrons que t est solution de l'équation :

                  ( 100 + t ) ( 101 + t ) = 11130

                 Le cœfficient multiplicateur la première année est 1 + t % .

                 Le cœfficient multiplicateur la deuxième année est 1 + ( 1 + t )% .

                 Ainsi le cœfficient pour les deux années est ( 1 + t % ) (  1 + ( 1 + t )% ) .

                Le capital placé au départ est 10 000 € .

               Au bout de deux ans  il est de 11130 € .

             Donc     10 000( 1 + t % ) (  1 + ( 1 + t )% )  = 11130

              c-à-d   10 000 [( 100 + t  ) / 100 ] [ (  100 +  1 + t  ) / 100 ] = 11130

               c-à-d    ( 100 + t  )  (  101+ t  )  = 11130

               Conclusion : On  a bien le résultat demandé.

          2. Déduisons la la valeur de t.

               L'équation précédente est   t2 +  201 t +10100 -11130 = 0

               c-à-d                 t2 +  201 t - 1030  = 0

                   On a :             Δ = 2012 + 4× 1030 = 44521 = 2112

              Les racines sont :

                        ( - b -   √  Δ   ) / ( 2 a ) = ( - 201 -  211 ) / 2 = - 412 / 2  = - 206   Refusée

                et      ( - b +   √  Δ   ) / ( 2 a ) = (  - 201  + 211 ) / 2  = 10 / 2  = 5   Accepté

                      Conclusion : On a   t %  qui est 5 %     

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      EXERCICE   n° 144 page 77 .      

              Une chaîne d'hôtels désire orienter ses investissements: elle

              réalise une analyse sur le bénéfice B( x ) de chaque hôtel, en

             fonction du taux d'occupation des chambres x exprimé en pourcentage .

             Pour x dans l'intervalle [ 20 ; 90 ] on a :

                     B( x ) = - x+ 160 x + c.

              1. Calculer de c  sachant que pour un

                  taux d'occupation de 40%  le bénéfice  est de 900€.   

                  Réponse:

                ATTENTION:

                Le morceau de phrase" taux d'occupation des chambres x exprimé en pourcentage"

                 est très maladroit.

                En effet, ici il fallait comprendre que le taux d'occupation est x%.

                Ainsi un taux d'occupation de 40% correspond à  x = 40.

                 On a  :  B( x) = - x2 + 160 x + c

                         et B( x ) = 900  quand x = 40

                   Donc      - 402 + 160 × 40  + c = 900

                   c-à-d      c =  900 + 402    - 160  × 40  =  - 3900

               Conclusion :   c  = - 3900 

              2. Dresser le tableau de variation .de la fonction B.

                  En déduire la valeur de x pour laquelle le bénéfice est maximal .

                  Quel est le bénéfice maximal que peut espérer réaliser cette

                  chaîne hôtelière  ?

                   Réponse:

                         Par hypothèse x est dans l'intervalle [ 20 ; 90 ]

                       - b / ( 2 a ) = - 160 / ( - 2   ) = 80

                           B(  8 0 )  = 2500   €  

                          Δ = 1602 - 4 ( - 1 ) × (-3900)

                         Δ = 10 000

                       - Δ  / ( 4 a ) = -10 000 / ( - 4 ) = 2500

                     Comme a <0 on a directement le tableau d'après le cours.

x         20                                               80                                            90
  B( x )                                     2500                  

         

           La valeur de x pour un bénéfice maximal est : 80

           Cela corespond à un taux de 80 %

           Le bénéfice maximal est :      2500 €

          Le bénéfice maximal espéré est donc  2500 €

         3. Donner le seuil de rentabilité  c'est-à-dire le taux x

              pour lequel le bénéfice est nul.

              c-à-d

                Donner le taux x pour que B( x ) =  0

               Réponse:

               Considérons   - x2 + 160 x - 3900 = 0

                 Δ = 10000          Δ > 0

                Les racines sont :   

      ( - b -   √  Δ   ) / ( 2 a ) =  ( - 160 - 100 ) / ( - 2 ) ≈ 130

      ( - b +  √  Δ   ) / ( 2 a ) = ( - 160 + 100 ) / ( - 2 ) ≈   30

                Mais x est dans l'intervalle [ 20 ; 90 ].

         Conclusion :  Le seuil de rentabilité est donc  30 %