INFO EX 2 BTS2R DS1

  INFO   EX 2   BTS2R          DS1             24 OCT 08


  EX.2    

             Partie A

                 1. a. Justifions que la v.a.r  X suit une loi binomiale B( n ; p ) et

                         précisons n et p.

                           ON NE DEMANDE PAS DE DIRE QUE LA V.A.R   X  EST DE LOI BINOMIALE.

                            ON DEMANDE POURQUOI. 

                          On REPETE  40 fois , DE FACON INDEPENDANTE, une épreuve de Bernoulli

                          dont les deux issues sont :

                           " entre dans la pharmacie"  , " n'entre pas dans la pharmacie" avec

                           0,15 la probabilité de " entre dans la pharmacie".

                            La v.a.r X  indique le nombre de "entre dans la pharmacie" 

                           La v.a.r X  suit donc une loi binomiale B( 40 ; 0,15 ).  

                       b. Calcul de E( X ).

                            E( X ) = 40 × 0,15 = 6

                            Donc E( X ) = 6

                           Cela signifie" Parmi les 40 usagers on peut espérer que 6 usagers

                                                  entrent dans la pharmacie" .

                    2. Calcul de P( X = 0 ).

                             P( X = 0 ) = C40    0,150   × 0,8540  

                            P( X = 0 ) = 0,8540  

                                     P( X = 0 ) = 0,001

                            Calcul de   P( X >= 1 ) .

                                                P( X >= 1 )   = 1 - P(  X < 1 ) = 1 - P( X = 0 )

                           On a donc  P( X >= 1 ) = 1 - 0,0015 =  0,9985

                            Ainsi:             P( X >= 1) = 0,9985

                    Partie B

                        Y est une v.a.r de loi normale N( 30; 4 )  .  

                     1. Calcul de P( Y >= 34 ).

                        On a :     P( Y >= 34 ) = 1 - P( Y < 34 )

                         Mais Y n'est pas centrée réduite.

                       Considérons la nouvelle v.a.r   continue centrée et réduite T

                       en posant T =  ( Y - 30 ) / 4

                       Ainsi:   P( Y >= 34 )  = 1 - P(  ( Y - 30 ) / 4  < (34 - 30 ) / 4 )

                          c-à-d    

                                    P( Y >= 34 )  = 1 - P( T < 1 )

                            Mais T est une v.a.r de loi normale centrée réduite N( 0 ; 1 ).

                            Donc  P( Y >= 34 )  = 1 - ∏( 1 )

                            c-à-d    P( Y >= 34 )  = 1 - 0,8413 = 0,1587

                                        P( Y >= 34 )  = 0,1587

                         •  Calcul de P( 26 < Y < 34 ).

                            On a        P( 26 < Y < 34 ) = P( ( 26 - 30 ) / 4  < T < ( 34 - 30 ) / 4 )

                            c-à-d        P( 26 < Y < 34 ) = P( - 1 < T < 1 ) = ∏( 1 ) - ∏( - 1 )

                             c-à-d    P( 26 < Y < 34 ) =    ∏( 1 ) - ( 1 - ∏(  1 ) ) = 2  ∏( 1 ) - 1

                               Ainsi   P( 26 < Y < 34 ) = 2 × 0,8413 - 1 

                             Donc    P( 26 < Y < 34 ) = 0,6826

                          2.  Soit P( Y >= a ) = 0,04. Trouvons le réel a.

                               On a donc :       1 - P( Y < a ) = 0,04

                                 c-à-d                1 - 0,04 = P( Y < a )

                                  c-à-d               0,96 = P( T < ( a - 30 ) / 4 )

                                                   0,960 = ∏( ( a - 30) / 4 )

                                 Avec la table on obtient :    0,9608 = ∏( 1,76)

                                  Donc  considérons   ( a - 30 ) / 4 = 1,76

                                 c-à-d          a =  1,76 ×4  + 30 = 37,04

                                   L'entier le plus proche pour a est : 37

                                    Donc a = 37

                                 La probabilité qu'il y ait  au moins 37 personnes qui de  18h

                                  à 20h  pénètrent dans la pharmacie est de  4 %.

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