TEST DERIV-LIM 1S1 27/03/10

           NOM:   ..........          PRENOM:   ......           DATE:  27 / 03 / 2010       CLASSE: 1S 1

                 Soit  la fonction rationnelle f : x → ( 2 x3 - 3 x2 + 11 x - 3 ) / ( 3 ( x2 + 1 ) ) définie sur IR.

                 On note ( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormal  ( O ; vect ( i ) , vect ( j ) ).

                    Partie A.  Etude de f.  

                1. Donner les ensembles  de définition  et de dérivabilité de f.

                2. Montrer que la courbe ( C ) admet le point  Ω( 0 ; - 1 ) comme centre de symétrie.

                3. Trouver f ' ( x ) .

                4. Etablir que 2 X2 - 5 X + 11 > 0 pour tout réel positif X .

                    En déduire que f '( x ) > 0 pour tout réel positif x.

                5. Dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle [ 0 , +∞ [ .

                6. En déduire le tableau de variationde f sur IR.

                7. Résoudre l'équation f( x ) = ( 2 / 3 ) x - 1  dans IR .

                8. Voir ci- dessous la courbe ( C ) de la fonction f  et la droite D : y = ( 2 / 3 ) x - 1

                    pour la fenêtre proposée.

                                  

                   Conjecturer le comportement de f( x ) quand x prend des valeurs très grandes.

           Parties B . Comportement asymptotique de f.

                    Soit la fonction ε: x →  f( x ) - ( ( 2 / 3 ) x - 1 )    définie dans IR.

                  1. Montrer que pour tout réel x ,  ε ( x ) = ( 3 x ) / ( x² + 1 ).

                  2. En déduire le signe de   ε ( x ) sur IR . 

                  3.  En déduire la position relative de la courbe ( C )par rapport à la droite D.

                  4. Montrer que , pour tout réel x strictement positif on a :  0 ≤   ε ( x )  ≤ 3 / x .

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------