RESUME 2 COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE 1S mars 2010
2. PROPRIETE.
Soit a un réel. a est une extrémité des intervalles de définition de la fonction x → 1 / ( x - a ) • On écrit: lim 1 / ( x - a ) = 0 x → + ∞ pour dire que 1 / ( x - a ) tend vers 0 quand x tend vers + ∞ . • On écrit : lim 1 / ( x - a )² = 0 x → + ∞ pour dire que 1 / ( x - a )² tend vers 0 quand x tend vers + ∞ . • On écrit : lim 1 / √( x - a ) = 0 x → + ∞ pour dire que 1 / √( x - a ) tend vers 0 quand x tend vers + ∞ . 3. Propriété. Soit a un réel. • On écrit : lim 1 / ( x - a ) = + ∞ x → a x > a pour dire que 1 / ( x - a ) tend vers + ∞ quand x tend vers a par la droite. On dit que la droite verticale d'équation x = a est une asymptote verticale à droite à la courbe de la fonction x → 1 / ( x - a ) . • On écrit : lim 1 / ( x - a ) = - ∞ x → a x < a pour dire que 1 / ( x - a ) tend vers - ∞ quand x tend vers a par la gauche. On dit que la droite verticale d'équation x = a est une asymptote verticale à gauche à la courbe de la fonction x → 1 / ( x - a ) . 4. EXEMPLE. Soit la fonction f : x → 1 / ( x - 2 )
Etablir que la courbe de f admet une asymptote verticale. Réponse: ---------------------------------------------------- En effet: Directement on peut affirmer, d'après la propriété avec a = 2 : lim 1 / ( x - 2 ) = + ∞ et lim 1 / ( x - 2 ) = - ∞ x → 2+ x → 2- Conclusion : Ainsi la droite D : x = 2 est une asymptote verticale à la courbe de f , aussi bien à droite qu'à gauche.
• Soit n dans IN* . lim xn = + ∞ et lim 1 / xn = 0 x → + ∞ x → + ∞ • lim √ x = + ∞ et lim 1 / √ x = 0 x → + ∞ x → + ∞ • lim xn = + ∞ si n entier non nul pair. x → - ∞ • lim xn = - ∞ si n entier impair. x → - ∞ • lim 1 / xn = 0 avec n dans IN* x → - ∞ --------------------------------------------------------------------
HERBIER DES LIMITES USUELLES CONNUES
OPERATIONS SUR LES LIMITES |
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• On peut sommer deux limites finies obtenues dans le même voisinage. • On peut faire le produit deux limites finies obtenues dans le même voisinage. • On peut multiplier une limite finie par un réel dans le même voisinage. • On peut diviser une limite finie par une limite finie non nulle dans le même voisinage. ATTENTION les choses se compliquent quand on fait intervenir une ou deux limites infinies. Il y a des formes dites " indéterminées": ± ∞ / ± ∞ par exemple ne veut rien dire ± ∞ / 0 par exemple ne veut rien dire. ( ± ∞ ) × 0 par exemple ne veut rien dire. 0 / 0 par exemple ne veut rien dire. ( + ∞ ) - ( + ∞ ) par exemple ne veut rien dire. ( - ∞ ) - ( - ∞ ) par exemple ne veut rien dire. + ∞ + ( - ∞ ) par exemple ne veut rien dire. PAR CONTRE: On sait que 1 / 0+ = + ∞ 1 / 0- = - ∞ ( + ∞ ) ×( - ∞ ) = - ∞ ( + ∞ ) × ( + ∞ ) = + ∞ ( - ∞ ) × ( - ∞ ) = + ∞ a × ( - ∞ ) = - ∞ avec a > 0 a × ( - ∞ ) = + ∞ avec a < 0
1 / + ∞ = 0 1 / - ∞ = 0 ---------------------------------------------------------------------