RESUME 2 COMPORTEMENT. ASYMPTO.

               RESUME  2    COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE               1S   mars 2010

       2.   PROPRIETE. 

              Soit a un réel. 

              a est une extrémité des intervalles de définition de la fonction

               x → 1 / ( x - a )                               

            •  On écrit:          lim 1 / ( x - a ) =  0   

                                     x →  + ∞ 

                                pour dire que  1 / ( x - a ) tend vers 0 quand x tend vers  + ∞ .

           •     On écrit :  

                                   lim 1 / ( x - a )² =  0  

                                  x →  + ∞ 

                                  pour dire que  1 / ( x - a )²   tend vers 0 quand x tend vers  + ∞ .

          •   On écrit :  

                                  lim 1 / √( x - a )  =  0  

                                  x →  + ∞ 

                                  pour dire que  1 / √( x - a )  tend vers 0 quand x tend vers  + ∞ .

           3.   Propriété. 

                    Soit a un réel.

     •  On écrit :     lim 1 / ( x - a ) =  + ∞     

                            x →  a                       

                                x > a

                     pour dire que  1 / ( x - a ) tend vers  + ∞   quand x tend vers a par la droite.

                On dit que la droite verticale d'équation x = a est une asymptote  verticale à droite

                à la courbe de la fonction  x → 1 / ( x - a )   .

      • On écrit :     lim 1 / ( x - a ) =  - ∞         

                             x →  a                       

                               x < a

                      pour dire que  1 / ( x - a ) tend vers  - ∞   quand x tend vers a par la gauche.  

              On dit que la droite verticale d'équation x = a est une asymptote verticale à gauche

              à la courbe de la fonction  x → 1 / ( x - a )   .

            4.    EXEMPLE.   

                        Soit la fonction f : x  →   1 / ( x - 2 )  

                        Etablir que la courbe de f  admet une asymptote verticale.

              Réponse:  ----------------------------------------------------

                        En effet:

                        Directement on peut affirmer, d'après la propriété avec a = 2 :

                            lim 1 / ( x - 2 ) =  + ∞                 et                 lim 1 / ( x - 2 ) =  - ∞   

                              x  → 2+                                                                             x  → 2-       

                         Conclusion : Ainsi la droite D : x = 2   est une asymptote verticale à la courbe

                                                   de f , aussi bien à droite qu'à gauche.

       

    HERBIER DES LIMITES USUELLES CONNUES

 

       • Soit  n dans IN* .

               lim xn         =  + ∞          et                lim 1 / xn    =  0      

               x  → + ∞                                           x  → +

       •    lim √ x        =  + ∞                  et             lim 1 / √ x        = 0    

             x  → + ∞                                               x  → + ∞    

       •      lim xn         =  + ∞           si n entier non nul pair.

              x  → - ∞    

        •      lim xn         =  - ∞           si n entier impair.

              x  → - ∞    

        •      lim 1 / xn    =  0     avec n dans IN*

                x  → - ∞    

--------------------------------------------------------------------

   

   OPERATIONS SUR LES LIMITES

  ----------------------------------------------------------------

         • On peut sommer deux limites finies  obtenues  dans le même voisinage.

          • On peut faire le produit  deux limites finies  obtenues  dans le même voisinage. 

          • On peut multiplier une limite finie par un réel dans le même voisinage. 

          • On peut  diviser une limite finie par une limite finie non nulle

             dans le même voisinage.  

         ATTENTION  les choses se compliquent quand  on fait intervenir une

          ou deux limites infinies.

            Il y a des formes dites " indéterminées":

                         ± ∞   /   ± ∞         par exemple ne veut rien dire

                        ± ∞   / 0             par exemple ne veut rien dire.

                     ( ± ∞ ) × 0             par exemple ne veut rien dire.

                         0  / 0               par exemple ne veut rien dire.

                ( + ∞ ) -  ( + ∞ )            par exemple ne veut rien dire.

                ( - ∞ ) -  ( - ∞ )            par exemple ne veut rien dire.

                    + ∞  + ( - ∞ )           par exemple ne veut rien dire.

           PAR CONTRE:    On sait que

                    1 / 0+      = + ∞ 

                     1 / 0-      = - ∞ 

            (  + ∞ ) ×(   -  ∞ ) = -  ∞  

              (  + ∞ ) × (   + ∞ ) = + ∞  

                 (  - ∞ ) × (   -  ∞ ) = +  ∞  

                a × (   -  ∞ ) =     -  ∞              avec a > 0 

                 a × (   - ∞ ) =    + ∞              avec a  < 0 

               1 /  + ∞    = 0

                  1 /  - ∞    = 0

---------------------------------------------------------------------