SUJETS BTS

 

                  ♦ SUJET 2002               BTS                                           21 Sept. 08

 

     EXERCICE 2     ( 8 POINTS )

        Partie A

            On considère la fonction f de la variable réelle x définie sur  l'intervalle [ 3 ; 30 ] par:

                                                      f ( x) = ( x - 3 ) e6 - x / 4

            On désigne par ( C ) la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.

             ( Unités graphiques: 0,5 cm sur l'axe des abscisses et 0,05 cm sur l'axe des ordonnées.)

             1. Montrer que pour tout réel x, on a f ' (x ) = ( - x / 4  + 7 /  4 ) e6 - x / 4      

                 2. Justifier le signe de la dérivée de f sur l'intervalle [ 3 ; 30 ] , puis dresser le tableau

                de variation de f sur cet intervalle.

             3. Déterminer une équation de la tangente ( T ) à la courbe ( C ) au point A d'abscisse 24.

             4.Tracer la droite ( T ) et la courbe ( C ) dans le repère donné

       Partie B

               Avant la commercialisation d'un nouveau système d'alarme, la société SECUPRO 

               réalise une enquète auprès des entreprises de la région Rhône-Alpes afin de déterminer

              le nombre d'acheteurs potentiels du logiciel en fonction de son prix de vente.

              Les résultats de cette enquète sont donnés dans le tableau suivant:

     

x prix en centaines d'euros 3 6 9 12 15 18
yi   nombre d'acheteurs potentiels 200 100 50 20 10 5
           

              L'allure du nuage de points de la série ( x , yi  ) conduit à poser zi = ln yi .

          

              1. Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant, en arrondissant les valeurs de z

                       au millième le plus proche.

x prix en centaines d'euros 3 6 9 12 15 18
zi = ln yi    

                 2. Donner la valeur arrondie à 10- 3 près du coefficient de corrélation linéaire de la série.

                      Un ajustement affine est-il justifié?

                 3. Déterminer une équation de la droite de régression de z en x, sous la forme z = a x + b ,

                     a sera arrondi au centième le plus proche et b arrondi à l'entier le plus proche.

                 4. Déduire du résultat obtenu à la question précédente , une expression de y en fonction de x.

                   Utiliser cette expression pour estimer le nombre d'acheteurs potentiels du logiciel si le prix

                  de vente est de 1000 euros.

    Partie C

                   Le prix de revient d'un système d'alarme est de 300 euros.

                  On suppose dans cette partie qu'une estimation du nombre d'acheteurs potentiels est

                   y = e6 - x / 4      ,  où x est le prix de vente exprimé en centaines d'euros.

                   1. Justifier que la fonction f, étudiée dans la partie A , donne une estimation du bénéfice

                   réalisé par la société SECUPRO en fonction du prix de vente unitaire proposé pour

                   le système d'alarme.

              2. A quel prix la société doit-elle proposer le système d'alarme pour que le bénéfice

                  soit maximum?

                  Quel est alors le bénéfice à 100 euros près?

      ------------------------------------                     ----------------------------------------                         --------------------------------

        INFORMATIONS

             Partie A

                   1. Simple travail de vérification. f est définie et dérivable dans

                       l'intervalle [ 3 ; 30 ] comme produit de telles fonctions.

                       On a pour tout x dans  [ 3 ; 30 ] :

                               c-à-d      f ' ( x) = 1 e6 - x / 4   + ( x - 3 )   ( - 1 / 4) e6 - x / 4  

                                                f ' ( x) = (1   + ( x - 3 )   ( - 1 / 4) ) e6 - x / 4  

                                                f ' ( x) = ( 4 / 4   - ( 1 / 4 ) x + 3 / 4) e6 - x / 4  

                                  Ainsi:    f ' ( x) = ( 7/ 4   - ( 1 / 4 ) x ) e6 - x / 4           x  dans   [ 3 ; 30 ]                             

 

  

 

 

 

  

 

                 2. On a :  f ' ( x) = (( 7- x ) / 4 ) e6 - x / 4           x  dans   [ 3 ; 30 ] .

                                 f '( x ) est du signe de 7 - x .

                            f '( x ) > 0   quand  x est dans  [ 3 ; 7 ]   

                            f '( x ) < 0    quand x est  dans [ 7 ; 30 ]   

                        Donc  f croit strictement sur [ 3 ; 7 ] et décroit strictement sur [ 7 ; 30 ].

                   3. L'équation de la tangente T à ( C ) au point A d'abscisse 24 est :

                        y  = f '(24) ( x - 24 ) + f( 24 ).

                       Or  f( 24 ) = 21               f '( 24 ) = - 17 / 4

                     Donc :  T : y  = (- 17 / 4) x + 123.

               Pour tracer T et ( C ) on peut utiliser le logiciel GEOGEBRA.

               Cliquer sur : http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.jnlp

                Dans la barre de saisie en bas écrire  y  = (- 17 / 4) x + 123.

                Puis cliquer deux fois sur RETURN.                          

--------------------------                          -----------------------------------                           ----------------------------------

        Partie B

         1.   Tableau:      ln 200 =5,2983      ln100 = 4,6052     ln50 = 3,9120   

                                       ln20 = 2,9957        ln10 =2,3026         ln 5 = 1,6094

                         

x prix en centaines d'euros 3 6 9 12 15 18
zi = ln yi  5,298 4,605 3,912   2,996 2,303 1,609

                  

         2.    r = - 0,9991         Soit : r = - 0,999

              Ajustement affine parfaitement justifié,  la valeur absolue de r étant proche de 1.

         3.    z = - 0,2502 x + 6,0805          Soit:    z = - 0,25 x + 6   à la calculatrice

         4.  On trouve  :  y = e6 - x / 4  .   

                Attention on ne peut pas l'admettre à partir de la dernière partie. 

               Il faut l'établir.   

               On a : z = lny   et    z = - 0,25 x + 6  .

               Donc :    lny = - 0,25 x + 6  

                 c-à-d       elny  = e- 0,25 x + 6      

                 c-à-d       y =  e- 0,25 x + 6      

                 c-à-d       y = e6 - x / 4      

               Pour x = 10   (  centaines d'euros )     y = e6 - 10 / 4   ≈  33,1155    Donc    y = 33 acheteurs.

          -------------------------                           ----------------------------                             --------------------------------

                Partie C

            1.  f ( x)  en centaines d'euros le bénéfice pour y acheteurs.

                En effet:

                3 y  est le coût , en centaines d'euros , pour l'entreprise quand il y a

                y acheteurs.

                x y  est le montant , en centaines d'euros, qui rentre en caisse quand il y a 

                y acheteurs.

             Le bénéfice est  :  

                            x y - 3 y  = ( x - 3 ) y  = ( x- 3 ) e6 - x / 4 

                            c-à-d    x y - 3 y  = f( x )     en centaines d'euros.

            2. Recherche de x pour avoir un bénéfice maximum.

               L'étude de f  a montré que f ( x ) est maximum pour x =  7.

               C'est donc pour un tarif de 700 euros que le bénéfice est maximum.

               Ce bénéfice maximum est :  f ( 7 ) = 4 e6 - 7 / 4  = 4 e17 / 4     centaines d'euros.

                                      c-à-d        28 000 euros     ( à 100 euros près )