♦ SUJET 2002 BTS 21 Sept. 08
EXERCICE 2 ( 8 POINTS )
Partie A
On considère la fonction f de la variable réelle x définie sur l'intervalle [ 3 ; 30 ] par:
f ( x) = ( x - 3 ) e6 - x / 4
On désigne par ( C ) la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
( Unités graphiques: 0,5 cm sur l'axe des abscisses et 0,05 cm sur l'axe des ordonnées.)
1. Montrer que pour tout réel x, on a f ' (x ) = ( - x / 4 + 7 / 4 ) e6 - x / 4
2. Justifier le signe de la dérivée de f sur l'intervalle [ 3 ; 30 ] , puis dresser le tableau
de variation de f sur cet intervalle.
3. Déterminer une équation de la tangente ( T ) à la courbe ( C ) au point A d'abscisse 24.
4.Tracer la droite ( T ) et la courbe ( C ) dans le repère donné
Partie B
Avant la commercialisation d'un nouveau système d'alarme, la société SECUPRO
réalise une enquète auprès des entreprises de la région Rhône-Alpes afin de déterminer
le nombre d'acheteurs potentiels du logiciel en fonction de son prix de vente.
Les résultats de cette enquète sont donnés dans le tableau suivant:
xi prix en centaines d'euros
3
6
9
12
15
18
yi nombre d'acheteurs potentiels
200
100
50
20
10
5
L'allure du nuage de points de la série ( xi , yi ) conduit à poser zi = ln yi .
1. Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant, en arrondissant les valeurs de zi
au millième le plus proche.
xi prix en centaines d'euros
3
6
9
12
15
18
zi = ln yi
2. Donner la valeur arrondie à 10- 3 près du coefficient de corrélation linéaire de la série.
Un ajustement affine est-il justifié?
3. Déterminer une équation de la droite de régression de z en x, sous la forme z = a x + b ,
a sera arrondi au centième le plus proche et b arrondi à l'entier le plus proche.
4. Déduire du résultat obtenu à la question précédente , une expression de y en fonction de x.
Utiliser cette expression pour estimer le nombre d'acheteurs potentiels du logiciel si le prix
de vente est de 1000 euros.
Partie C
Le prix de revient d'un système d'alarme est de 300 euros.
On suppose dans cette partie qu'une estimation du nombre d'acheteurs potentiels est
y = e6 - x / 4 , où x est le prix de vente exprimé en centaines d'euros.
1. Justifier que la fonction f, étudiée dans la partie A , donne une estimation du bénéfice
réalisé par la société SECUPRO en fonction du prix de vente unitaire proposé pour
le système d'alarme.
2. A quel prix la société doit-elle proposer le système d'alarme pour que le bénéfice
soit maximum?
Quel est alors le bénéfice à 100 euros près?
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INFORMATIONS
Partie A
1. Simple travail de vérification. f est définie et dérivable dans
l'intervalle [ 3 ; 30 ] comme produit de telles fonctions.
On a pour tout x dans [ 3 ; 30 ] :
c-à-d f ' ( x) = 1 e6 - x / 4 + ( x - 3 ) ( - 1 / 4) e6 - x / 4
f ' ( x) = (1 + ( x - 3 ) ( - 1 / 4) ) e6 - x / 4
f ' ( x) = ( 4 / 4 - ( 1 / 4 ) x + 3 / 4) e6 - x / 4
Ainsi: f ' ( x) = ( 7/ 4 - ( 1 / 4 ) x ) e6 - x / 4 x dans [ 3 ; 30 ]
f '( x ) est du signe de 7 - x .
f '( x ) > 0 quand x est dans [ 3 ; 7 ]
f '( x ) < 0 quand x est dans [ 7 ; 30 ]
Donc f croit strictement sur [ 3 ; 7 ] et décroit strictement sur [ 7 ; 30 ].
3. L'équation de la tangente T à ( C ) au point A d'abscisse 24 est :
y = f '(24) ( x - 24 ) + f( 24 ).
Or f( 24 ) = 21 f '( 24 ) = - 17 / 4
Donc : T : y = (- 17 / 4) x + 123.
Pour tracer T et ( C ) on peut utiliser le logiciel GEOGEBRA.
Cliquer sur : http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.jnlp
Dans la barre de saisie en bas écrire y = (- 17 / 4) x + 123.
Puis cliquer deux fois sur RETURN.
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Partie B
1. Tableau: ln 200 =5,2983 ln100 = 4,6052 ln50 = 3,9120
ln20 = 2,9957 ln10 =2,3026 ln 5 = 1,6094
xi prix en centaines d'euros
3
6
9
12
15
18
zi = ln yi
5,298
4,605
3,912
2,996
2,303
1,609
2. r = - 0,9991 Soit : r = - 0,999
Ajustement affine parfaitement justifié, la valeur absolue de r étant proche de 1.
3. z = - 0,2502 x + 6,0805 Soit: z = - 0,25 x + 6 à la calculatrice
4. On trouve : y = e6 - x / 4 .
Attention on ne peut pas l'admettre à partir de la dernière partie.
Il faut l'établir.
On a : z = lny et z = - 0,25 x + 6 .
Donc : lny = - 0,25 x + 6
c-à-d elny = e- 0,25 x + 6
c-à-d y = e- 0,25 x + 6
c-à-d y = e6 - x / 4
Pour x = 10 ( centaines d'euros ) y = e6 - 10 / 4 ≈ 33,1155 Donc y = 33 acheteurs.
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Partie C
1. f ( x) en centaines d'euros le bénéfice pour y acheteurs.
En effet:
3 y est le coût , en centaines d'euros , pour l'entreprise quand il y a
y acheteurs.
x y est le montant , en centaines d'euros, qui rentre en caisse quand il y a
y acheteurs.
Le bénéfice est :
x y - 3 y = ( x - 3 ) y = ( x- 3 ) e6 - x / 4
c-à-d x y - 3 y = f( x ) en centaines d'euros.
2. Recherche de x pour avoir un bénéfice maximum.
L'étude de f a montré que f ( x ) est maximum pour x = 7.
C'est donc pour un tarif de 700 euros que le bénéfice est maximum.
Ce bénéfice maximum est : f ( 7 ) = 4 e6 - 7 / 4 = 4 e17 / 4 centaines d'euros.
c-à-d 28 000 euros ( à 100 euros près )