Sujet EXERCICE 4 SPE 2018

                          Baccalauréat S         Métropole–La Réunion           22 juin 2018 


            EXERCICE 4       (  5 points )
                                   Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité


           PARTIE  A
                On considère l’équation suivante dont les inconnues x et y sont des entiers naturels :
                           x2  −  8 y2  =  1             (E)
               1. Déterminer un couple solution (x ; y) où x et y sont deux entiers naturels.

               2. On considère la matrice   
                                                 Matbac18
                   On définit les suites d’entiers naturels (xn) et  ( yn )  par :
                       x0 = 1, y0 = 0, et pour tout entier naturel n,
                                           Egabac18 
                      a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le couple ( xn ; yn )
                          est solution de l’équation (E).
                      b. En admettant que la suite (xn) est à valeurs strictement positives, démontrer que pour
                           tout entier naturel n, on a : xn+1 > xn.
                  3. En déduire que l’équation (E) admet une infinité de couples solutions.


            PARTIE  B
                   Un entier naturel n est appelé un nombre puissant lorsque, pour tout diviseur premier p de n,
                    p2  divise n.
              1. Vérifier qu’il existe deux nombres entiers consécutifs inférieurs à 10 qui sont puissants.
                  L’objectif de cette partie est de démontrer, à l’aide des résultats de la partie A, qu’il existe une infinité
                  de couples de nombres entiers naturels consécutifs puissants et d’en trouver quelques exemples.
              2. Soient a et b deux entiers naturels.
                    Montrer que l’entier naturel n = a2 b3   est un nombre puissant.
              3. Montrer que si (x ; y) est un couple solution de l’équation (E) définie dans la partie A, alors
                         x2 − 1 et x2   sont des entiers consécutifs puissants.
              4. Conclure quant à l’objectif fixé pour cette partie, en démontrant qu’il existe une infinité de
                    couples de nombres entiers consécutifs puissants.
                  Déterminer deux nombres entiers consécutifs puissants supérieurs à 2018.

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