EX2 BAC S GRAPHIQUE 22 juin 10

                                                  INFO EXERCICE 2    BAC S  22 JUIN 2010       

             EXERCICE 2

                                                              GRAPHIQUES  ET COMPARAISON  DES  LIMITES 

                 Question 2

                  a.   Représentation .

                                             

                     On a montré que les deux suites étaient adjacentes.

                     Elles ont donc la même limite .

                     Cette limite commune est 1.

                        En effet:    

                            On a vu que:              lim  10- n = 0

                                                                   n   → + ∞       

                            Donc          lim ( 1 - 10- n  )  = 1    et    lim  ( 1 +  10- n  ) = 1

                                               n   → + ∞                              n   → + ∞  

                          c-à-d      lim  un  =  1            et          lim  vn  =  1                             

                                           n   → + ∞                                n   → + ∞                                     

                 b.  Représentation .

                       

                           On a vu que les deux suites n'étaient pas adjacentes.

                            Les deux suites ont la même limite cependant.

                            Cette limite commune est  + ∞  .

                         En effet: 

                                            On a:    vn =  un   + 1 / n     pour tout n dans IN*.

                                              Or on a déjà montré que :    lim  un  = + ∞  

                                                                                                       n   → + ∞   

                                             Ainsi  :         lim ( un  + 1 / n ) = + ∞  

                                                                   n   → + ∞     

                                           c-à-d                 lim  vn  = + ∞  

                                                                      n   → + ∞                

                    c.  Représentation .   

                                     

                                         On a vu que les deux suites ne sont pas adjacentes.

                                       Les deux suites ont la même limite cependant 

                                      Cette limite commune est 1.

                                       En effet :        - 1 / n  ≤   ( - 1 )n  /  n    ≤  1 / n      pour tout n dans IN*.

                                                          et         lim ( - 1 / n  ) =  lim ( 1 / n  ) = 0

                                                                       n   → + ∞              n    →  +   ∞

                                        d'après le Th. des gendarmes  :

                                                               lim   ( - 1 )n  /  n  = 0    

                                                                 n   → + ∞ 

                                           Donc :       lim [ 1 +   ( - 1 )n  /  n  ] = 1       

                                                                n   → + ∞ 

                                           c-à-d                   lim   vn  = 1         

                                                                      n   → + ∞ 

                                                D'autre part :

                                                                 lim   (   1 -  1 / n ) = 1 - 0 = 1         

                                                                n   → + ∞ 

                                                c-à-d           lim   un  = 1         

                                                                      n   → + ∞ 

                 Question 3.      Représentation .    

                                                 

                                              On a vu que seulement pour a = e   les deux suites  sont  adjacentes.

                                              Pour a = e   elles ont donc la même limite .

                                            Cette limite commune est 1.

                                            En effet:

                                                 Dans le 2.c. on a déjà montré :         lim   un  = 1         

                                                                                                                 n   → + ∞ 

                                                On a choisi a = e pour que la suite ( v ) ait la même limite 1.

                                                                             Donc                         lim   vn  = 1         

                                                                                                                n   → + ∞