INFO TEST BTS1A 11 déc 2013

                                      TEST SUR LES MATRICES                 11/12/13     BTS1

         EXERCICE 1

              On donne :   

                  Mataetb

             Calculer les matrices A+ B , B + A  , 3 A   , - 2 B  , 3 A - 2 B

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            REPONSE:

                On a avec la calculatrice directement:  

                     Ex1

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     EXERCICE 2

             Soient les matrices:

                    Matex2

      1. Calculer les matrices A × B  et B × A.

       2. A-t-on    A × B  = B × A ?

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    REPONSE:

        1. On obtient avec la calculatrice:

                   Ex2q1

       2. Comparons les deux produits.

                 On a       A × B  ≠  B × A

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     EXERCICE 3

        1.    Soit les matrices A et A' suivantes:

             Aetaprim

            Calculer les matrices  A × A'    et   A' × A.

        2 .  Soient les matrices :

                  Bc

               Calculer B× C .

              Que peut-on remarquer?

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                 REPONSE:

           1. On a directement avec la calculatrice:

                     Matun

           2. On a :               

                   Mtnul

                    On constate que la matrice B × C  est la matrice nulle bien que

                    ni B ni C ne soient la matrice nulle.

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               EXERCICE 4

             Soit les matrices :

               Abc

           1. Calculer les matrices  A × B    puis  ( A × B ) × C.

           2.  Calculer les matrices  B × C    puis   A × ( B  × C).

               Pouvait-on prévoir le résultat.

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      REPONSE :

          1. Avec la calculatrice:

                   Assoc

         2. Toujours avec la calculatrice:

                Finassoc

               OUI.

                On pouvait prévoir le résultat  car la multiplication des matrices est associative.

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      EXERCICE 5:

                        On considère les matrices :

                             Mtenon

             1.  Démontrer que  A2 - 3 A + 2 I = 0  

                      ( O étant la matrice nulle )

              2. En remarquant que  A = A × I   vérifier que l'égalité de la question 1

                                 peut s'écrire :   

                                    Formar

            3. En déduire l'existence d'une matrice A ' telle que :

                               A ×  A' = I

           ( On donnera d'abord l'expression de A ' en fonction de A et I  puis sous forme

            d'un tableau de nombres)

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              REPONSE:

    1. Avec la calculatrice directement on vérifie que  A2 - 3 A + 2 I =0  .

     2.  On considère :     A2 - 3 A× I + 2 I = 0  

                   c-à-d             2 I = 3 A× I  -  A

                    c-à-d           en factorisant A 

                                         2 I = A (  3  I  -  A  )   

                     c-à-d    en multipliant par 1 / 2  chaque membre :

                           Formar

              3.  On peut considérer:

                                              Matgraprim

                        on a bien alors  A × A' = I

              4. Avec la calculatrice il vient :

                       Invmata

                    A ' est simplement la matrice  A - 1.

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              EXERCICE 6

               Soient les  matrices  suivantes:

                                  Trmt

            1. Déterminer les deux nombres réels a et b tels que :

                                 A = a I + b J

          2 .  Calculer  J2 .

          3. On suppose que A = 3 I + J .

           a. Montrer que    ( 3 I + J )2 = 10 I + 6 J       à partir de la seconde question

                et des propriétés usuelles des matrices.

               ( Dans cette question on n'utilisera pas les expressions des matrices

                 comme tableau  mais on raisonnera littéralement avec les lettres A, I, J.

             b. Vérifier à l'aide des expresions données pour les matrices au début de l'exercice 

                       que     A2 = 10 I + 6 J

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               REPONSE: 

             1 . L'égalité     A = a I + b J  

                se traduit par :

                      Aetb

      2. Avec la calculatrice :

                       Conclusion :

                                  Jcarre

     3. On sait que :  A = 3 I + J

           a .  Donc :     A2 = ( 3 I + J)2  = 9   I2  +  J2  + 6  I × J

                         ( égalité remarquable)

                           Mais   I2 = I  =  J2           I × J  = J  

                           D'où le résultat :      A2( 3 I + J)2 = 10 I + 6 J

           b.  Avec la calculatrice  on obtient      A2 =  10 I + 6 J  directement.

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