TEST SUR LES MATRICES 11/12/13 BTS1
EXERCICE 1
On donne :
Calculer les matrices A+ B , B + A , 3 A , - 2 B , 3 A - 2 B
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REPONSE:
On a avec la calculatrice directement:
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EXERCICE 2
Soient les matrices:
1. Calculer les matrices A × B et B × A.
2. A-t-on A × B = B × A ?
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REPONSE:
1. On obtient avec la calculatrice:
2. Comparons les deux produits.
On a A × B ≠ B × A
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EXERCICE 3
1. Soit les matrices A et A' suivantes:
Calculer les matrices A × A' et A' × A.
2 . Soient les matrices :
Calculer B× C .
Que peut-on remarquer?
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REPONSE:
1. On a directement avec la calculatrice:
2. On a :
On constate que la matrice B × C est la matrice nulle bien que
ni B ni C ne soient la matrice nulle.
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EXERCICE 4
Soit les matrices :
1. Calculer les matrices A × B puis ( A × B ) × C.
2. Calculer les matrices B × C puis A × ( B × C).
Pouvait-on prévoir le résultat.
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REPONSE :
1. Avec la calculatrice:
2. Toujours avec la calculatrice:
OUI.
On pouvait prévoir le résultat car la multiplication des matrices est associative.
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EXERCICE 5:
On considère les matrices :
1. Démontrer que A2 - 3 A + 2 I = 0
( O étant la matrice nulle )
2. En remarquant que A = A × I vérifier que l'égalité de la question 1
peut s'écrire :
3. En déduire l'existence d'une matrice A ' telle que :
A × A' = I
( On donnera d'abord l'expression de A ' en fonction de A et I puis sous forme
d'un tableau de nombres)
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REPONSE:
1. Avec la calculatrice directement on vérifie que A2 - 3 A + 2 I =0 .
2. On considère : A2 - 3 A× I + 2 I = 0
c-à-d 2 I = 3 A× I - A2
c-à-d en factorisant A
2 I = A ( 3 I - A )
c-à-d en multipliant par 1 / 2 chaque membre :
3. On peut considérer:
on a bien alors A × A' = I
4. Avec la calculatrice il vient :
A ' est simplement la matrice A - 1.
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EXERCICE 6
Soient les matrices suivantes:
1. Déterminer les deux nombres réels a et b tels que :
A = a I + b J
2 . Calculer J2 .
3. On suppose que A = 3 I + J .
a. Montrer que ( 3 I + J )2 = 10 I + 6 J à partir de la seconde question
et des propriétés usuelles des matrices.
( Dans cette question on n'utilisera pas les expressions des matrices
comme tableau mais on raisonnera littéralement avec les lettres A, I, J.
b. Vérifier à l'aide des expresions données pour les matrices au début de l'exercice
que A2 = 10 I + 6 J
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REPONSE:
1 . L'égalité A = a I + b J
se traduit par :
2. Avec la calculatrice :
Conclusion :
3. On sait que : A = 3 I + J
a . Donc : A2 = ( 3 I + J)2 = 9 I2 + J2 + 6 I × J
( égalité remarquable)
Mais I2 = I = J2 I × J = J
D'où le résultat : A2 = ( 3 I + J)2 = 10 I + 6 J
b. Avec la calculatrice on obtient A2 = 10 I + 6 J directement.
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