SUJET COMMUN 1S 2 AVRIL 2010

                        SUJET  COMMUN  1S          2 avril 2010         2 heures  

       EXERCICE 1        QCM    

              Chaque question comporte une seule réponse exacte.

              Vous devez cocher la case correspondante.

                  • Une bonne réponse rapporte 0,5 point.

                  • Une  réponse fausse enlève 0,25 point. 

                  • Une absence de réponse rapporte 0 point.

                   • La note attribuée pour cet exercice ne peut être en dessous de 0

                  Aucune justification n'est demandée.

                 Les questions sont indépendantes.

         1. Soit la fonction f : x → 1 / ( 2 x )  définie sur IR*

            Elle admet comme fonction dérivée :          

 
         f ' : x  →  - 1 / ( 2 x )²       

 
        f ' :  x  →  -  1 / ( 2 x² )     

 
        f ' :   x  →  - 1 / x²

---------------------------------------------------------------------------------------

         2. Soit f une fonction définie sur IR*+ telle que  f( 1 ) = 0  et de fonction dérivée

             f ' :   x  →  1 / x .

 
       La fonction  g : x  →  f( 2 x + 1 )   a pour fonction dérivée sur IR*+   

       la fonction g ' :  x  → 1 / ( 2 x + 1 ).    

 

     L'équation réduite de la tangente à la courbe ( C ) de la fonction f au point d'abscisse

         1 est : y = - x + 1.    

 
   Pour tout réel h voisin de 0 on a l'approximation affine

                   f( 1 + h ) ≈ h                            

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------  

   3.  Soit la fonction f : x  → 1 / ( 3 - x ) définie sur IR - { 3 }.        

 
    La fonction f est décroissante sur les intervalles de IR - { 3 }.  

 
        La fonction dérivée de f  sur IR - { 3 } est

        fonction   f ' : x  → 1 / ( 3 - x )²

 

     La tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 admet

      un coefficient égal à  - 1 /  9 .                                                                                                             

----------------------------------------------------------------------------------------

    4. Soit la fonction f :  x →  x2 + x + 2  

 
           f ' ( 2 ) = 5

 
     La forme canonique de f est :

           f( x ) = ( x - ( - 1 / 2 )  )2  - 1 / 4 

 

          f ( x ) = 0 ssi     x = - 1 ou x = 2        

----------------------------------------------------------------------------------------------------------                                                          

     5. La droite d'équation y = 1,5 x + 1, 5 est la tangente au point d'abscisse 1

       à la courbe de la fonction:  

         f :  x   →  x² - 0,5 x + 2

       f :  x   → x + 1 +√ x  

           f :  x   → ( x - 1 ) / ( 2 x - 0, 5 )

-------------------------------------------------------------------------      

         EXERCICE 2                                 

               1. Soit la fonction  f : x  →  x +(  3 / x  ) - ( 1 / x² )    définie sur IR•  .           

                   Déterminer la fonction dérivée f ' de f.

               2. Soit  la fonction g: x →  x3 - 3x + 2 définie sur IR.

                   a. Montrer que l'équation g( x ) = 0 admet une racine évidente.

                   b. Déterminer trois réels a , b, c tels que :

                          g( x )  = ( x -  1 )( a x2 + b x + c )    pour tout réel x. 

                   c. Donner le signe de g( x ) suivant x.

                   d. Montrer que f '( x ) est du signe de g( x ) / x pour tout  x dans IR .

                   e. Donner le tableau de variation de la fonction f.

            -------------------------------------------------------------------------------------------------------

             EXERCICE 3     

                              Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) .

                              Soit les points A( - 4 : 0)  et B( 2; 6 ).

                               M( x , y ) désigne un point quelconque du plan.

                           1. Montrer que : MA² + MB² = 2 x² + 2 y²  + 4 x- 12 y + 56.

                           2. Quel est l'ensemble des pints M du plan tels que  MA² + MB² = 40 .

                                Représenter ( E ).

--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

             EXERCICE 4    

                    Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) .

                    Soit les points A( - 1 ; 0 )  et B ( 4 ; 0 ).

                    C désigne unpoint quelconque du plan non situé  sur la droite ( AB ) .

                     M désigne un point quelconque du plan.

                    On note H le point de la droite ( AB ) qui vérifie   vect(AH). vect(AB) = - 10  .

  1. a. Les vecteurs colinéaires vect( AH ) et vec( AB ) sont-ils de même sens ? de sens contraires?

      b. Que vaut la distance AB  ?

           Que vaut AH ?

          Les vecteurs colinéaires vect( AH ) et vec( AB ) sont-ils de même sens ? de sens contraires?

      c. Faire une figure en plaçant le point H.

   2. Quel est l'ensemble ( Γ ) des points M du plan tels que  vect( HM) . vect(AB ) = 0 ?

        Tracer (  Γ ).

   3. Comparer les réels  vect( AH ) . vect( AB) + vect( HM ) . vect ( AB)   et  vect(AM) . vect( AB ). 

   4. Etablir que vect( AM ) . vect( AB) = - 10 équivaut à vect( HM ) . vet( AB) = 0.

       Quel est l' ensemble des point M du plan tels que   vect( AM ) . vect( AB) = - 10  ?

    5. On note I le milieu du segment [BC] et G l'isobarycentre des points A , B , C.

           a. Réduire les vecteurs  vect( MA) + vect( MB) + vect(MC) et vect(MB)+vect(MC).

          b. Trouver l'ensemble ( W ) des points M du plan tels que :

                  ( vec( MB + vect( MC)  ) . vect( MA) = 0

           c. Trouver l'ensemble ( L ) des points M du plan tels que :

                  3 × || vect( MB) + vect( MC) || = 2 × || vect( MA) + vect( MB)+ vect(MC)  ||.

            d. Représenter l'ensemble ( L ).

--------------------------------------------------------------------------------