INFO DV BTS1 5 février 210

                 Devoir maison         BTS1    5 février 2010         

         EXERCICE   

         Une urne contient 12 boules blanches et 8 boules noires.

         On effectue des tirages dans cette urne , chacune des 20 boules

          ayant la même probabilité d'être tirée.

     1. On tire simultanément cinq boules de l'urne.

         a.Quelle est la probabilité d'obtenir 3 boules blanches et 2 boules noires?

        b. Quelle est la probabilité d'obtenir des boules de couleurs différentes?

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 Réponse:

             a. L'univers des possibles Ω contient toutes les combinaisons

                  de 5 boules prises parmi les 20 boules de l'urne.

                 Card(  Ω ) = C205  = 15 504

    

                 Card( A ) =  C123   ×  C82   = 6160

                

                 On est dans une situation d'équiprobabilité.

                 P( A ) = Card( A )  / Card(  Ω )

                 Donc   P( A ) = 6160  / 15 504

                     Conclusion : P( A ) = 385 / 969    

                b. Pour trouver P( B ) on considère l'événement contraire à B.

                       P( B ) = 1 - P (   )

                     Card(   ) =   C125   +  C85   = 792 + 56 = 848

                       P(  ) = Card(  ) /  Card(  Ω )

                       P( B ) = 1 -  848 / 15504

                         c-à-d  

                       P( B ) = 14656 / 15504

                        Conclusion :  P( B ) = 916 / 969       P( B) ≈ 0,945 

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      2. On tire maintenant cinq boules successivement  avec remise.

         a. Quelle est la probabilité d'obtenir d'abord trois boules blanches

          puis 2 boules noires ?

         b.  Quelle est la probabilité d'obtenir trois boules blanches

               et 2 boules noires ?

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 Réponse:

             a.  Soit C l'événement " Obtenir d'abord trois boules blanches

                  puis 2 boules noires ".

                   On est dans une situaton d'équiprobabilité.

                   P( C ) = Card( C ) / Card( Ω )

                   Card( C ) = 123  ×  82   = 110 592 

                   Card(  Ω ) = 205  = 3 200 000 

                  Donc:  P( C ) = 110592  / 3 200 000  = 108 / 3125 

                        Conclusion :  P( C ) =  108 / 3125                P( C ) ≈  0,034 

               b. Soit D l'événement :

                     " Obtenir trois boules blanches et  deux boules noire"

                      P( D ) = Card( D ) / Card( Ω ))

                       Card( D ) = C53   123  ×  82     =  10 ×  110 592 = 110 5920

                      Ainsi :

                        P( D ) = 10 P( C )

                                 Conclusion :  P( D ) =   1080 / 3125       P( D ) ≈  0,34  

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       3. On tire à présent successivement 3 boules en remettent la boule seulement

           si elle est blanche.

          a. Quelle est la probabilité de tirer exactement une boule blanche?

          b. Quelle est la probabilité de tirer au moins une boule blanche?

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          Réponse:

               a. Soit E l'événement " Tirer exactement une boule blanche"

                  D'après l'arbre il y a trois chemin incompatibles

                  qui conduisent à ce résultat.

                   BNN            NBN                      NNB

            P( BNN ) = ( 12 / 20 ) ( 8 / 20 ) ( 7  / 19 )

            P( NBN ) = ( 8 / 20 ) ( 12 / 19 ) ( 7 / 19 )

            P( NNB ) = ( 8 / 20 ) ( 7 / 19 ) ( 12 / 18)

            La somme de ces trois probabilités est P( E ).

           Donc

                          Conclusion :  P( E ) ≈ 0,279     

            b. Soit F l'événement :" Tirer au moins une boule blanche".

                 La probabilité de l'événement contraire NNN est :

                     P( NNN) = ( 8 / 20 ) ( 7 / 19 ) ( 6 / 18 )

                Donc

                     P( F ) = 1 -  ( 8 / 20 ) ( 7 / 19 ) ( 6 / 18 )= 6504 / 6840

                     Conclusion :  P( F ) = 271 / 285            P( F ) ≈ 0,950