INFO LISTE 2 EX LIMITES 1S

  INFO LISTE 2 EX SUR LES LIMITES 1S  JANVIER 2009

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  EX. 3     Soit la fonction f : x→ √ (x² + 4 )  - x   définie dans IR.

                    Soit ( C ) sa courbe dans un repère orthogonal du plan.

                      (  Unités graphiques: 1 cm en abscisse

                                                       0,5 cm en ordonnée. )

                     1. Pour tout x dans   ] -  ∞ , 0 [  montrer que  f( x) > - x .

                        Rep.  √ (x² + 4 ) > 0    Donc   √ (x² + 4 )  - x > 0 - x

                                 c-à-d      f( x ) > -x .   C'est valable en fait pour tout réel x.

                     2. Trouver la limite de f en -  ∞ .

                        Rep.  Comme    lim - x = + ∞ 

                                                  x  →  -  ∞

                           On a   lim f( x ) = + ∞ 

                                      x  →  -  ∞

                     3. Montrer que √ (x² + 4 )  + x > 0 pour tout x dans IR.

                          Rep.          • pour tout  x > 0.  Donc  √ (x² + 4 )  + x  > 0

                                            • Pour x = 0  on a:  √ (x² + 4 )  + x = 2

                                               Donc √ (x² + 4 )  + x > 0

                                             • Pour x < 0   on a :  x² + 4 > x² >0

                                               Comme √  est croissante strictement sur [ 0 , + ∞[

                                                 √ (x² + 4 )  > | x |    

                                               c-à-d   √ (x² + 4 )  > - x

                                              c-à-d      √ (x² + 4 )  + x > 0                      

                         

                     4. Etablir que :  f( x ) = 4 /  ( √ (x² + 4 )  + x )         ( 1 )

                          pour tout x dans IR.

                            REP.  Pour tout réel x on a

                             f( x ) × ( √ (x² + 4 )  + x  ) = ( √ (x² + 4 )  - x  ) ( √ (x² + 4 )  + x  )  

                                  Donc     f( x ) × ( √ (x² + 4 )  + x  ) = ( (√ (x² + 4 ) )² - x²  )

                                c-à-d  f( x ) × ( √ (x² + 4 )  + x  ) = x² + 4   - x²  = 4

                                   Or  √ (x² + 4 )  + x   > 0

                             Donc  f( x ) = 4 /  ( √ (x² + 4 )  + x )

                                         pour tout réel x.

                     5. Montrer que  0 < f(x ) < 4 / x pour tout x dans ] 0 , +  ∞[.

                            REP  √ (x² + 4 )  + x > x > 0     pour x > 0 .

                                Donc   1 / ( √ (x² + 4 )  + x)  <  1 / x

                                  c-à-d     4 / (√ (x² + 4 )  + x  ) <  4 / x

                                    c-à- d      f( x ) < 4 /  x   pour tout x > 0.

                            De plus  4 / ( √ (x² + 4 )  + x ) > 0  car √ (x² + 4 )  + x > 0 pour tout réel x.

                                 On a donc  0 < f( x ) aussi.

                            Finalement  0 < f( x ) < 4 / x pour tout x > 0.

                     6. En déduire  la limite de f en +  ∞.

                      REP      0 < f( x ) < 4 / x pourt out x > 0.

                                     lim 4 / x = 0

                                    x → + ∞

                                Donc    lim f( x ) = 0

                                             x → + ∞

                     7. Que peut-on dire de la courbe de f en +  ∞ ?

                        REP  La courbe de f admet  l'axe des abscisses comme

                                   asymptote horizontale en +  ∞.

                     8. Montrer que 0 < f( x ) - ( - 2 x ) <  - 4 / x  pour tout x dans  ] -  ∞ , 0 [ .

                           ( On pourra  à partir de ( 1 ) considérer 

                               √ (x² + 4 )  + x  = 4 / ( √ (x² + 4 )  - x )   pour tout x dans  IR  .)

                         REP     On a:      f( x ) - ( - 2 x ) =   √ (x² + 4 )  - x  + 2 x = √ (x² + 4 )  + x  

                       On a :             √ (x² + 4 )  - x  > - x > 0      pour tout x < 0. 

                                     Donc     1 / ( √ (x² + 4 )  - x )    <  1 / - x        pour tout x < 0 .

                                c-à-d      4 / ( √ (x² + 4 )  - x ) <   - 4 / x    pour tout x < 0

                                    c-à- d   √ (x² + 4 )  + x  <   - 4 / x    pour tout x < 0 .

                                    c-à-d      f( x ) - ( - 2 x ) <   - 4 / x    pour tout x < 0 .

                              Or    0 < √ (x² + 4 )  + x   pour tout réel x.

                                   D'où 0 < f( x ) - ( - 2 x ) < - 4 / x    pour tout x < 0 .

                     9. Que peut-on dire de la droite D d'équation y = - 2 x  pour la courbe de f en - ∞?

                        REP    On a   0 < f( x ) - ( - 2 x ) <  - 4 / x  pour tout x dans  ] -  ∞ , 0 [ .

                                     lim - 4 / x = 0

                                    x → - ∞

                               Donc  lim ( f( x ) - ( - 2 x )  ) = 0

                                           x → - ∞

                           La droite oblique d'équation y = - 2 x est une asymptote à la courbe de f en   - ∞.

                     10. Tracer la courbe de la fonction f et la droite D.

                     11. On admet le résultat de cours : ( Term. )

                       <<  Soit u une fonction définie , dérivable , strictement positive sur l'intervalle I.

                        Alors la fonction  √ u   est définie et dérivable dans l'intervalle I et l'on a :

                        ( √ u   )' = u ' / ( 2 √ u   )        >>

                        a. En déduire que la fonction dérivée de f est :

                                f ' : x→ ( x - √ (x² + 4 ) )  / √ (x² + 4 )   sur IR.

                                La fonction u: x → x² + 4  est définie , dérivable et positive strictement dans IR.

                                u ' : x →  2 x         

                              La fonction   v  : x →  x  est définie et dérivable dans IR.

                               v ' : x →  1

                              f = √ u  - v

                               f est définie et dérivable dans IR.   f ' = u ' / ( 2√ u )   - v '

                                 f ' : x →  2 x  /  ( 2 √ (x² + 4 ) ) - 1

                                   c-à-d     f ' : x →   x  /   √ (x² + 4 )  - 1

                                  c-à-d     f ' : x →   (x   -  √ (x² + 4 ) ) / √ (x² + 4 ) .

                        b. Donner le sens de variation de f.   

                                        f ' : x → -  ( √ (x² + 4 ) - x  ) / √ (x² + 4 ) .  

                                Or        √ (x² + 4 ) - x   > 0 pour tout réel x.

                                  Donc  f '( x ) < 0 pour tout réel x.

                                f est strictement décroissante dans IR.         

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