INFO LISTE 2 EX SUR LES LIMITES 1S JANVIER 2009
--------------------------------------------------------------------------------------------------
EX. 3 Soit la fonction f : x→ √ (x² + 4 ) - x définie dans IR.
Soit ( C ) sa courbe dans un repère orthogonal du plan.
( Unités graphiques: 1 cm en abscisse
0,5 cm en ordonnée. )
1. Pour tout x dans ] - ∞ , 0 [ montrer que f( x) > - x .
Rep. √ (x² + 4 ) > 0 Donc √ (x² + 4 ) - x > 0 - x
c-à-d f( x ) > -x . C'est valable en fait pour tout réel x.
2. Trouver la limite de f en - ∞ .
Rep. Comme lim - x = + ∞
x → - ∞
On a lim f( x ) = + ∞
x → - ∞
3. Montrer que √ (x² + 4 ) + x > 0 pour tout x dans IR.
Rep. • pour tout x > 0. Donc √ (x² + 4 ) + x > 0
• Pour x = 0 on a: √ (x² + 4 ) + x = 2
Donc √ (x² + 4 ) + x > 0
• Pour x < 0 on a : x² + 4 > x² >0
Comme √ est croissante strictement sur [ 0 , + ∞[
√ (x² + 4 ) > | x |
c-à-d √ (x² + 4 ) > - x
c-à-d √ (x² + 4 ) + x > 0
4. Etablir que : f( x ) = 4 / ( √ (x² + 4 ) + x ) ( 1 )
pour tout x dans IR.
REP. Pour tout réel x on a
f( x ) × ( √ (x² + 4 ) + x ) = ( √ (x² + 4 ) - x ) ( √ (x² + 4 ) + x )
Donc f( x ) × ( √ (x² + 4 ) + x ) = ( (√ (x² + 4 ) )² - x² )
c-à-d f( x ) × ( √ (x² + 4 ) + x ) = x² + 4 - x² = 4
Or √ (x² + 4 ) + x > 0
Donc f( x ) = 4 / ( √ (x² + 4 ) + x )
pour tout réel x.
5. Montrer que 0 < f(x ) < 4 / x pour tout x dans ] 0 , + ∞[.
REP √ (x² + 4 ) + x > x > 0 pour x > 0 .
Donc 1 / ( √ (x² + 4 ) + x) < 1 / x
c-à-d 4 / (√ (x² + 4 ) + x ) < 4 / x
c-à- d f( x ) < 4 / x pour tout x > 0.
De plus 4 / ( √ (x² + 4 ) + x ) > 0 car √ (x² + 4 ) + x > 0 pour tout réel x.
On a donc 0 < f( x ) aussi.
Finalement 0 < f( x ) < 4 / x pour tout x > 0.
6. En déduire la limite de f en + ∞.
REP 0 < f( x ) < 4 / x pourt out x > 0.
lim 4 / x = 0
x → + ∞
Donc lim f( x ) = 0
x → + ∞
7. Que peut-on dire de la courbe de f en + ∞ ?
REP La courbe de f admet l'axe des abscisses comme
asymptote horizontale en + ∞.
8. Montrer que 0 < f( x ) - ( - 2 x ) < - 4 / x pour tout x dans ] - ∞ , 0 [ .
( On pourra à partir de ( 1 ) considérer
√ (x² + 4 ) + x = 4 / ( √ (x² + 4 ) - x ) pour tout x dans IR .)
REP On a: f( x ) - ( - 2 x ) = √ (x² + 4 ) - x + 2 x = √ (x² + 4 ) + x
On a : √ (x² + 4 ) - x > - x > 0 pour tout x < 0.
Donc 1 / ( √ (x² + 4 ) - x ) < 1 / - x pour tout x < 0 .
c-à-d 4 / ( √ (x² + 4 ) - x ) < - 4 / x pour tout x < 0
c-à- d √ (x² + 4 ) + x < - 4 / x pour tout x < 0 .
c-à-d f( x ) - ( - 2 x ) < - 4 / x pour tout x < 0 .
Or 0 < √ (x² + 4 ) + x pour tout réel x.
D'où 0 < f( x ) - ( - 2 x ) < - 4 / x pour tout x < 0 .
9. Que peut-on dire de la droite D d'équation y = - 2 x pour la courbe de f en - ∞?
REP On a 0 < f( x ) - ( - 2 x ) < - 4 / x pour tout x dans ] - ∞ , 0 [ .
lim - 4 / x = 0
x → - ∞ Donc lim ( f( x ) - ( - 2 x ) ) = 0 x → - ∞ La droite oblique d'équation y = - 2 x est une asymptote à la courbe de f en - ∞.
10. Tracer la courbe de la fonction f et la droite D.
11. On admet le résultat de cours : ( Term. )
<< Soit u une fonction définie , dérivable , strictement positive sur l'intervalle I.
Alors la fonction √ u est définie et dérivable dans l'intervalle I et l'on a :
( √ u )' = u ' / ( 2 √ u ) >>
a. En déduire que la fonction dérivée de f est :
f ' : x→ ( x - √ (x² + 4 ) ) / √ (x² + 4 ) sur IR.
La fonction u: x → x² + 4 est définie , dérivable et positive strictement dans IR.
u ' : x → 2 x
La fonction v : x → x est définie et dérivable dans IR.
v ' : x → 1
f = √ u - v
f est définie et dérivable dans IR. f ' = u ' / ( 2√ u ) - v '
f ' : x → 2 x / ( 2 √ (x² + 4 ) ) - 1
c-à-d f ' : x → x / √ (x² + 4 ) - 1
c-à-d f ' : x → (x - √ (x² + 4 ) ) / √ (x² + 4 ) .
b. Donner le sens de variation de f.
f ' : x → - ( √ (x² + 4 ) - x ) / √ (x² + 4 ) .
Or √ (x² + 4 ) - x > 0 pour tout réel x.
Donc f '( x ) < 0 pour tout réel x.
f est strictement décroissante dans IR.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------