Ensemble des nombres complexes de module 1,
noté souvent U. U est donc inclus dans C .
° 1. Définition :
U = { z dans C / | z | = 1 }
°2.Propriété 1 :
U est stable pour la multiplication .
c-à-d
Soient z et z' dans U , alors le produit z z' est dans U.
Explication :
Soient z et z' dans U
Comme z et z' sont dans C, on a :
| z z' | = | z | | z' | ( propriété connue dans C )
Mais ici | z | = | z' | = 1 car z et z' dans U
Donc | z z' |= 1 × 1 = 1
Conclusion : Pour tout z et tout z' dans U
le nombre complexe produit z z' est aussi dans U.
( La multiplication est une loi de composition interne dans U.)
° 3 Propriété 2 :
Tout élément z de U est inversible.
Son inverse est 1 / z.
Explication :
Soit z dans U
Comme | z | = 1 , z ne peut être nul.
En effet : supposons par l'absurde que, z = 0
Alors | z | = | 0 | = 0
Mais | z | = 1
On aurait 1 = 0 Absurde
car 1 ≠ 0
Donc, z ≠ 0
En tant que élément de C, non nul , z est donc inversible
Son inverse est 1 / z.
Conclusion :
Tout élément z de U est bien inversible.
Et son inverse est 1 / z.