U inclus dans C

                             Ensemble des nombres complexes de module 1,

                                   noté souvent U.    U est donc inclus dans C .

 

            ° 1. Définition :

                            U = { z dans C  /  | z | = 1 }

              °2.Propriété 1 :

                     U est stable pour la multiplication   .

                 c-à-d

                Soient z et z' dans  U , alors le produit  z z' est dans U.

               Explication :

                  Soient z et z' dans U

                  Comme z et z' sont dans C, on a :

                    | z z' | = | z |  | z' |       ( propriété connue dans C  )

                    Mais ici     | z | = | z' | = 1   car   z et z' dans U

                  Donc       | z z' |= 1 × 1 =  1

                  Conclusion : Pour tout z et tout z'  dans U

                   le nombre complexe produit  z z' est aussi dans U.

                 (  La multiplication  est une loi de composition interne dans U.)

              ° 3 Propriété 2 :

                     Tout élément z de U est inversible.

                    Son inverse est 1 / z.

              Explication :

                   Soit z dans U

                   Comme | z | = 1 ,   z  ne peut être nul.

                   En effet : supposons par l'absurde que,   z = 0

                    Alors | z | = | 0 | = 0

                    Mais | z | = 1 

                    On aurait 1 = 0  Absurde

                    car   1  ≠ 0   

                    Donc,  z  ≠  0  

                   En tant que élément de C, non nul , z est donc inversible

                   Son inverse est  1 / z.

                    Conclusion :                 

                   Tout élément z de U est bien inversible.

                    Et son inverse est    1 / z.