INFO EXERCICE
EXERCICE. sin ' ; cos '
1. Soit h un réel non nul.
Montrer que : ( 1 - cos h ) / h = ( 2 sin² ( h / 2 ) ) / h = ( ( sin ( h / 2 ) ) / ( h / 2 ) ) × sin( h / 2 )
• On a 1 - cos ( 2 ( h / 2 ) = 2 sin² ( h / 2 )
en posant a = h / 2 dans la formule de cours 1 - cos 2a = 2 sin² a
Donc en divisant par h , réel non nul , chaque membre il vient :
( 1 - cos ( 2 ( h / 2 ) ) / h = ( 2 sin² ( h / 2 ) ) / h
c-à-d ( 1 - cos h ) / h = ( 2 sin² ( h / 2 ) ) / h notée ( 1 )
• De plus on a : ( ( sin ( h / 2 ) ) / ( h / 2 ) ) × sin( h / 2 ) = ( sin² ( h / 2 ) ) / ( h / 2 )
c-à-d ( ( sin ( h / 2 ) ) / ( h / 2 ) ) × sin( h / 2 ) = sin² ( h / 2 ) ) × ( 2 / h )
( ( sin ( h / 2 ) ) / ( h / 2 ) ) × sin( h / 2 ) = ( 2 sin² ( h / 2 ) ) / h notée ( 2 )
( 1 ) et ( 2 ) prouvent la double égalité demandée.
Conclusion : Le résultat est prouvé.
On admet : lim (sin x) / x = 1
x→ 0 Trouver : lim ( 1 - cos h ) / h h → 0 Considérons ( 1 - cos h ) / h = ( ( sin ( h / 2 ) ) / ( h / 2 ) ) × sin( h / 2 ) On a : lim ( sin ( h / 2 ) ) / ( h / 2 ) = 1 car lim h / 2 = 0 et lim (sin x) / x = 1
x→ 0 h → 0 x→ 0 De plus on a : lim ( h / 2 ) = 0 et lim sin x = 0 ainsi lim sin( h / 2 ) = 0 h → 0 x → 0 x → 0 Ainsi; lim ( ( ( sin ( h / 2 ) ) / ( h / 2 ) ) × sin( h / 2 ) ) =1 × 0 = 0
h → 0 On en déduit : Conclusion: lim ( 1 - cos h ) / h = 0 h → 0
2. a. Démontrer que pour tout réel a et pour tout réel non nul h on a:
( sin( a + h ) - sin a ) / h = (- sin a ) ( ( 1 - cos h ) / h ) + (cos a ) ( (sin h) / h)
On a : ( sin( a + h ) - sin a ) / h = ( sin a cos h + sin h cos a - sin a ) / h
c-à-d ( sin( a + h ) - sin a ) / h = ( - sin a ( 1 - cos h ) + sin h cos a ) / h
c-à-d ( sin( a + h ) - sin a ) / h = - sin a ( 1 - cos h ) / h + ( ( sin h ) / h ) cos a
b. Montrer que sin' = cos sur IR.
Comme lim ( 1 - cos h ) / h = 0 et lim ( sin h ) / h = 1
h → 0 h → 0
On a : lim ( sin( a + h ) - sin a ) / h = - sin a × 0 + 1 × cos a = cos a
h → 0
Conclusion: lim ( sin( a + h ) - sin a ) / h = cos a
3. a. Etablir que pour tout réel a et pour tout réel non nul h on a:
( cos( a + h ) - cos a ) / h = ( - sin a ) ( sin h ) / h + ( cos a )( cos h - 1 ) / h .
On a : ( cos( a + h ) - cos a ) / h = ( cos a cos h - sin a sin h - cos a ) / h
c-à-d ( cos( a + h ) - cos a ) / h = ( cos a ( cos h - 1 ) - sina sin h ) / h
Ainsi :
( cos( a + h ) - cos a ) / h = cos a ( cos h - 1 ) / h - sina ( sin h ) / h
b. Montrer que cos ' = - sin sur IR.
On a vu : lim ( cos h - 1 ) / h = 0 lim ( sin h )/ h = 0
h → 0 h → 0
On a : lim ( cos( a + h ) - cos a ) / h = cos a × 0 - sina × 1 = - sin a
h → 0
Donc cos ' a = - sin a pour tout réel a.
Donc cos ' = - sin sur IR
Conclusion: On a bien le résultat .
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