INFO EX SIN ' COS '

INFO EXERCICE  

   EXERCICE.      sin ' ;  cos '   

         1. Soit h un réel non nul.

            Montrer que : ( 1 - cos h ) / h = ( 2 sin² ( h / 2 ) ) / h = ( ( sin ( h / 2 ) ) / ( h / 2 )  )  × sin( h / 2 )

                          •   On a             1 - cos ( 2 ( h / 2 ) = 2 sin² ( h / 2 ) 

                              en posant  a = h / 2  dans la formule  de cours   1 - cos 2a    = 2 sin² a  

                              Donc en divisant par h , réel non nul , chaque membre il vient :

                             (   1 - cos ( 2 ( h / 2 )   ) / h =   ( 2 sin² ( h / 2 )   ) / h       

                              c-à-d              (   1 - cos  h  ) / h =   ( 2 sin² ( h / 2 )   ) / h       notée ( 1 )

                  •   De plus on a :     ( ( sin ( h / 2 ) ) / ( h / 2 )  )  × sin( h / 2 ) =   ( sin² ( h / 2 ) ) / ( h / 2 ) 

                       c-à-d          ( ( sin ( h / 2 ) ) / ( h / 2 )  )  × sin( h / 2 ) =   sin² ( h / 2 ) ) ×  ( 2 / h ) 

                             ( ( sin ( h / 2 ) ) / ( h / 2 )  )  × sin( h / 2 ) =   ( 2  sin² ( h / 2 ) ) / h          notée ( 2 )        

              ( 1 ) et ( 2 )   prouvent la double égalité demandée.

              Conclusion : Le résultat est prouvé.

             On admet  :      lim  (sin x) / x = 1

                                       x→ 0   

              Trouver :       lim ( 1 - cos h ) / h 

                                    h  → 0   

                  Considérons          (   1 - cos  h  ) / h =  ( ( sin ( h / 2 ) ) / ( h / 2 )  )  × sin( h / 2 )

                  On  a :     lim  ( sin ( h / 2 ) ) / ( h / 2 ) = 1    car        lim h / 2  = 0     et       lim  (sin x) / x = 1

                                 x→ 0                                                        h  → 0                        x→ 0   

   

                                     De plus   on a :     lim ( h / 2 )  = 0     et      lim sin x = 0   ainsi      lim  sin( h / 2 )    = 0

                                                                  h  → 0                            x  → 0                         x  → 0           

                                      Ainsi;              lim (  ( ( sin ( h / 2 ) ) / ( h / 2 )  )  × sin( h / 2 )  ) =1   × 0 = 0

                                                               h  → 0  

                                   On en déduit :  

                                   Conclusion:                          lim ( 1 - cos h ) / h  = 0

                                                                                h  → 0   

                                                                                              

            2. a. Démontrer que  pour tout réel a et pour tout réel non nul h on a:

                      ( sin( a + h ) - sin a  ) / h   = (- sin a ) ( ( 1 - cos h ) / h ) + (cos a ) ( (sin h) / h)          

                  On a :       ( sin( a + h ) - sin a  ) / h   = ( sin a cos h + sin h cos a   - sin a  ) / h

 

                 c-à-d            ( sin( a + h ) - sin a  ) / h  = ( - sin a ( 1 - cos h  )  +    sin h   cos a  ) / h

               c-à-d             ( sin( a + h ) - sin a  ) / h  = - sin a ( 1 - cos h  ) / h + (  ( sin h ) / h )  cos a

              b. Montrer que sin' = cos    sur IR.

                        Comme     lim  ( 1 - cos h ) / h = 0     et         lim ( sin h ) / h  = 1

                                        h   →  0                                         h   →  0     

                      On a :       lim (  sin( a + h ) - sin a  ) / h   = - sin a  × 0    + 1 × cos a = cos a      

                                        h   →  0                                   

                     Conclusion:       lim (  sin( a + h ) - sin a  ) / h   = cos a

              3. a.  Etablir que pour tout réel a et pour tout réel non nul h on a:

                      ( cos( a + h ) - cos  a  ) / h   =  ( - sin a ) (  sin h )  / h  + ( cos a )( cos h  - 1 ) / h .

                    On a :           ( cos( a + h ) - cos  a  ) / h   = ( cos a cos h - sin a sin h - cos a  ) / h

                    c-à-d            ( cos( a + h ) - cos  a  ) / h   = ( cos a  ( cos h - 1 ) - sina sin h   ) / h

                     Ainsi :

                                         ( cos( a + h ) - cos  a  ) / h   = cos a ( cos h - 1 ) / h - sina ( sin h ) / h

                 b.  Montrer que  cos '  = - sin   sur IR.

                       On a vu :          lim ( cos h - 1 ) / h  = 0             lim ( sin  h  )/ h   = 0 

                                                 h  → 0                                    h → 0  

                     On a :   lim   ( cos( a + h ) - cos  a  ) / h   = cos a × 0 - sina  × 1 = - sin a 

                                 h   →  0   

                       Donc            cos ' a = - sin a               pour tout réel a. 

                           Donc  cos '  = - sin    sur IR

              Conclusion: On a bien le résultat .

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