INFO TEST n° 1 SUITES TS Sept. 2012

  NOM:    ......           PRENOM:   ....      CLASSE:    TS1       DATE:  18/ 9 /12

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  •  Soit u= - 1    et  un + 1  = √( 2 + u )  pour tout n dans IN.

     On rappelle que la fonction   f: x → √(a x + b )  où a et b sont deux réels tels que a > 0  

       a pour fonction dérivée  f ' : x  a /  ( 2√(a x + b ) )   sur l'intervalle  ] - b / a ,  + ∞ [.

    ••   Donner le sens de variation de la fonction f : x  √( x + 2 ) 

       La fonction f est définie dans l'intervalle [ - 2 , + ∞ [  et est dérivable

        dans l'intervalle ouvert ] - 2 , + ∞ [ .

         On a:       f ': x → 1 / ( 2 √( x + 2 )  )     sur    ] - 2 , + ∞ [ .

         Il est immédiat que 1 / ( 2 √( x + 2 )  )  > 0 pour tout x dans   ] - 2 , + ∞ [ .

          c-à-d      f ' > 0  sur   ] - 2 , + ∞ [ .

               Conclusion:  f est strictement croissante sur  [ - 2 , + ∞ [ .

    ( Attention toute tentative, à ce stade, pour conclure qu'ainsi la suite ( un )

     est croissante  sur IN serait abusive. )

       ••Etablir que - 1 ≤ un ≤ 2  entier naturel n par récurrence.

             •n = 0

               On a    - 1 ≤ - 1 ≤ 2      c-à-d     - 1 ≤ u0 ≤ 2

                Donc       - 1 ≤ un ≤ 2   est vrai pour n = 0

            •Soit n dans IN quelconque.

                 Montrons que si    - 1 ≤ un ≤ 2  alors   - 1 ≤ un + 1 ≤ 2 

                Considérons   - 1 ≤ un ≤ 2 

               Ainsi, comme f est croissante sur [ - 2 ,  + ∞ [ , on a :

                        f( - 1 )  ≤  f( un ) ≤  f( 2 )

              c-à-d              f( - 1 )  ≤  un + 1 ≤  f( 2 )

               Mais  f( - 1 ) = √( - 1 + 2 ) = √1= 1

               et    f( 2 ) =  √( 4) = 2

              Donc    1 ≤ un + 1  ≤ 2

                Ainsi   - 1 ≤ un + 1  ≤ 2

               Conclusion: L'encadrement est prouvé

     •• La suite est-elle convergente? divergente?

      ( On pourra pour cela rechercher son sens de variation )

          On a :       u= - 1  et  u1 = 1  

         Donc                      u0   ≤   u1 

         On peut conjecturer que la suite est croissante.

        Montrons le par récurrence sur IN

          •n = 0   

             On a     u0   ≤   u1 

            Donc   un   ≤   un + 1     est vrai   pour n = 0

         • Soit n dans IN quelconque.

           Montrons que si  un   ≤   un + 1   alors un + 1   ≤   un + 2   .

           Considérons    -1 ≤ un   ≤   un + 1

           comme f est croissante sur [ - 2 , + ∞ [   on déduit :

                                  f( un  ) ≤ f( un+1 )

                  c-à-d       un + 1 ≤ un + 2   

               La suite ( u ) est croissante sur IN.

                Mais elle est majorée par 2 sur  IN.

                Donc la suite ( un  )  est convergente. Elle admet une limite finie L.

                 •• Si la suite était convergente , quelles conditions ici

                     seraient vérifiées par sa limite finie L ? 

                   On a :      -1  ≤ un  ≤ 2   pour tout n dans IN  

                    Donc                 -1  ≤  L ≤ 2      

                    On a    un + 1  = f(  un  )    pour tout n dans IN  

                    Mais    √ ( x+ 2 ) tend vers √ ( L+ 2 )   quand x tend vers L.

                  Ainsi on peut pour n très grand écrire que  :

                                L = √( L + 2 )