NOM: ...... PRENOM: .... CLASSE: TS1 DATE: 18/ 9 /12
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• Soit u0 = - 1 et un + 1 = √( 2 + un ) pour tout n dans IN.
On rappelle que la fonction f: x → √(a x + b ) où a et b sont deux réels tels que a > 0
a pour fonction dérivée f ' : x → a / ( 2√(a x + b ) ) sur l'intervalle ] - b / a , + ∞ [.
•• Donner le sens de variation de la fonction f : x → √( x + 2 )
La fonction f est définie dans l'intervalle [ - 2 , + ∞ [ et est dérivable
dans l'intervalle ouvert ] - 2 , + ∞ [ .
On a: f ': x → 1 / ( 2 √( x + 2 ) ) sur ] - 2 , + ∞ [ .
Il est immédiat que 1 / ( 2 √( x + 2 ) ) > 0 pour tout x dans ] - 2 , + ∞ [ .
c-à-d f ' > 0 sur ] - 2 , + ∞ [ .
Conclusion: f est strictement croissante sur [ - 2 , + ∞ [ .
( Attention toute tentative, à ce stade, pour conclure qu'ainsi la suite ( un )
est croissante sur IN serait abusive. )
••Etablir que - 1 ≤ un ≤ 2 entier naturel n par récurrence.
•n = 0
On a - 1 ≤ - 1 ≤ 2 c-à-d - 1 ≤ u0 ≤ 2
Donc - 1 ≤ un ≤ 2 est vrai pour n = 0
•Soit n dans IN quelconque.
Montrons que si - 1 ≤ un ≤ 2 alors - 1 ≤ un + 1 ≤ 2
Considérons - 1 ≤ un ≤ 2
Ainsi, comme f est croissante sur [ - 2 , + ∞ [ , on a :
f( - 1 ) ≤ f( un ) ≤ f( 2 )
c-à-d f( - 1 ) ≤ un + 1 ≤ f( 2 )
Mais f( - 1 ) = √( - 1 + 2 ) = √1= 1
et f( 2 ) = √( 4) = 2
Donc 1 ≤ un + 1 ≤ 2
Ainsi - 1 ≤ un + 1 ≤ 2
Conclusion: L'encadrement est prouvé
•• La suite est-elle convergente? divergente?
( On pourra pour cela rechercher son sens de variation )
On a : u0 = - 1 et u1 = 1
Donc u0 ≤ u1
On peut conjecturer que la suite est croissante.
Montrons le par récurrence sur IN
•n = 0
On a u0 ≤ u1
Donc un ≤ un + 1 est vrai pour n = 0
• Soit n dans IN quelconque.
Montrons que si un ≤ un + 1 alors un + 1 ≤ un + 2 .
Considérons -1 ≤ un ≤ un + 1
comme f est croissante sur [ - 2 , + ∞ [ on déduit :
f( un ) ≤ f( un+1 )
c-à-d un + 1 ≤ un + 2
La suite ( u ) est croissante sur IN.
Mais elle est majorée par 2 sur IN.
Donc la suite ( un ) est convergente. Elle admet une limite finie L.
•• Si la suite était convergente , quelles conditions ici
seraient vérifiées par sa limite finie L ?
On a : -1 ≤ un ≤ 2 pour tout n dans IN
Donc -1 ≤ L ≤ 2
On a un + 1 = f( un ) pour tout n dans IN
Mais