INFO LISTE EX . VAR.

LISTE D'EXERCICES SUR LES VAR.                OCT  08


        EX.1        Soit T une v.a.r  ( continue) de loi centrée réduite, c-à-d de loi N( 0 ; 1 )

                       Soit a un réel .

                       On sait que P( T < a ) = 0,7580.

                       par lecture en sens contraire de la table trouver le réel a.


       REP.      Par lecture de la table. A la ligne t = 0,7 la colonne 0,00 on lit 0,7580.

                    Donc   P( T < a ) = 0,7580 pour   a = 0,70


       EX 2.         Soit X une v.a.r ( continue de loi normale N(  0 ; 1 ).

                         Trouver P( - 0,75 < X < 0, 5 ).


            REP.       P( - 0,75 < X < 0,5 ) = ∏(0,5) - ∏( - 0,75 ) =  ∏(0,5) - ( 1 - ∏( 0,75 )  

                          P( - 0,75 < X < 0,5 ) =∏(0,5) - 1 + ∏( 0,75 )  

              Donc    P( - 0,75 < X < 0,5 ) = 0,6915 - 1 + 0,7734 = 0,4649

                         P( - 0,75 < X < 0,5 ) =  0,4649


      EX 3.      Soit Y une v.a.r de loi normale N( 50; 4 ).

                        1. Y est-elle centrée réduite? ( Expliquez. )

                        2. Quelle v.a.r T doit-on considérer si l'on veut trouver P(  Y < 57,68 )  ?

                        3. Trouver   P(  Y < 57,68 ).


         REP.            1. Non.     E( Y ) = 50   

                                   Donc E( Y ) ≠ 0.   Y n'est pas centrée.

                                   σ( Y )   ≠  1  .         Y n'est pas réduite.  

                            2.  On doit considérer T = ( Y - 50 ) / 4 .

                                T est de loi normale N( 0 ; 1 ).

                           3.  Ainsi :    P( Y < 57,68 ) = P( T < ( 57,68 - 50 ) / 4 )

                            c-à-d         P( Y < 57,68 ) = P( T < 1,92) = ∏(1,92) = 0,9726

                                  P( Y < 57,68 ) =  0,9726     


           EX 4.        Soit T une v.a.r. ( continue) de loi normale N( 0 ; 1).

                             1. Trouver P( T < 1,96 ) c-à-d trouver ∏( 1,96).

                             2.Trouver le réel positif a tel que P( - a <T < a ) = 0,95.

 

 

 


       REP.           1. On a d'après la table de loi normale centrée réduite:

                              ∏( 1,96 ) = 0,9750.

                           2.  P( - a <T < a ) = 0,95   se traduit par   ∏( a ) - ∏( - a ) = 0,95

                                 c-à-d       ∏( a ) - ( 1  - ∏(  a ) = 0,95      

                                c-à-d          2 ∏( a ) - 1 = 0,95

                                  c-à-d         ∏( a )  = 1,95 / 2     = 0,9750

                           D'après la première question on a donc a = 1,96


  EX 5.   Soit X une v.a.r qui indique la masse en Kg de sac d'oranges.

                     On admet que X suit une loi normale N( m ; σ ).

                    On sait que 60% des sacs ont une masse inférieure à 5,025 Kg et 50%

                    des sacs  ont une masse supérieure à 4,085 Kg.

                    1. Que vaut P( X < 5,025 )?

                    2. Que vaut P( X > 4,085 ) ?

                   3. Trouver les deux paramètres m et σ de X.


           REP          1.   P( X < 5,025) = 0,60.

                            2.  P( X > 4,085 ) = 0,50

                            3. Trouvons les paramètres de X.    Posons T = (  X - m ) / σ

                            •  • On a:       P( X < 5,025) = 0,60  Donc     P ( T < ( 5,025 - m ) / σ ) = 0,60

                               Par lecture de la table en sens contraire on a : 

                                ( comme 0,60 proche de 0,602 )

                                ( 5,025 - m ) / σ =  0,25  environ                         ( 1 )

                              •    On a :   P( X > 4,085 ) = 0,50   c-à-d    1 -  P( X < 4,085 ) = 0,50

                                      c-à-d      P( X < 4,085 ) = 0,50

                                         Donc       P ( T < ( 4,085 - m ) / σ ) = 0,50   

                                Par lecture de la table en sens contraire on a: 

                                                   ( 4,085 - m ) / σ = 0,0  environ                      ( 2 )

                       ( 1 ) et ( 2 ) forment un système d'inconnues m et   σ .

                      On obtient;       m = 4,085

                                                 D'où       ( 5,025 - m ) / σ =  0,25  donne 

                                                   σ = ( 5,025-4,085 )/ 0,25 =  3,7