EX 3 DV n° 3 du 22 / 1 / 14 TS1
EXERCICE 3
Soit la suite ( un ) définie sur IN par :
u0 = 2
un + 1 = 3 - e - un pour tout n dans IN
1. Montrer que cette suite est croissante et majorée par 3.
2. Que peut-on en déduire pour la suite?
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REPONSE :
1. • Montrons que cette suite est croissante sur IN
Montrons par récurrence que un + 1 ≥ un pour tout n dans IN.
* n = 0
On a: u0 = 2
et u 1 = 3 - e - u0 = 3 - e - 2 ≈ 2, 8
Donc on a bien: u 1 ≥ u0
L'inégalité est vraie pour n = 0
* Soit n dans IN quelconque.
Montrons que si un + 1 ≥ un alors un + 2 ≥ un + 1
Considérons la fonction f : x → 3 - e - x
Elle est définie et dérivable dans IR
f ' : x → e - x
Comme exp > 0 sur IR
f ' > 0 sur IR
f est strictement croissante sur IR.
On a : un + 1 ≥ un
Donc f( un + 1 ) ≥ f( un )
Mais f( un + 1 ) = un + 2 et f( un ) = un + 1
Donc un + 2 ≥ un + 1
On a montré la formule à l'ordre n+ 1
Conclusion : OUI. La suite ( un ) est croissante sur IN.
• Montrons que un ≤ 3 pour tout n dans IN.
On a :
- e- un < 0 pour tout n dans IN car exp > 0 sur IR.
Donc 3 - e- un ≤ 3 pour tout n dans IN
c-à-d
un+1 ≤ 3 pour tout n dans IN ( à partir de rang 1 la suite est majorée par 3 )
De plus u0 ≤ 3 car u0 = 2
Conclusion :
un ≤ 3 pour tout n dans IN
( Une récurrence n'est pas nécessaire car l'hypothèse de récurrence
au rang n n'est pas nécessaire pour l'établir au rang n + 1 )
2. Une suite croissante et majorée converge d'après le cours.
C'est le cas de la suite ( un ) qui est croissante et majorée.
Conclusion : La suite ( un ) converge.
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