INFO DS n°3 1ES 17/11/09

        INFO DS n° 3   1ES           17/11/09          

         Exercice 1 .

                   Le plan est muni d'un repère orthonormal.

                  Soit la suite récurrente  ( un )  définie par :

                             un + 1    =   - un  + 2     pour tout entier naturel n.

                             u0   =  3

             1. Représenter les trois premiers termes de cette suite sur l'axe des abscisses

                 à l'aide d'un web. ( On tracera les droites d'équations y = x et y = - x + 2  )    

                                     

                           On voit que u( 1 ) = - 1   et   u( 2 )  = 3

                            c-à-d   u1 = - 1   et    u2 = 3

              2. Quelle remarque peut-on faire? 

                 Elle prend alternativement les valeurs 3 et - 1.

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        Exercice 2

          Soit la suite ( vn )  telle que : 

               vn =  7 - 2 n      pour tout entier naturel n.

                1. Quelle est la nature de cette suite?

                               vn+1 -  vn = 7 - 2 ( n + 1 ) - ( 7 - 2 n )

                              vn+1 -  vn 7   - 2  n - 2   -  7  +  2 n

                               vn+1 -  vn = = - 2  pour tout entier naturel n.

                      Conclusion :   Elle est arithmétique de raison - 2

                2. Calculer la somme :

                           S = v0   + v1   + ..  .. + v9  

                             Il y a  1 + 9  termes.

                            v9   =  7 - 18 = - 11      et     v0    = 7

                On a :     S = [ (  v0   + v9  ) / 2 ]  ×10

              c-à-d     S = [ (  7 - 11  ) / 2 ]  ×10 = - 20

                       Conclusion :   S = - 20         

              3. Donner le sens de variation de la suite.

                           La raison - 2 est négative.

                       Conclusion:     Elle est décroissante sur IN.

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  Exercice 3

          Soit la suite ( wn )  telle que : 

                       wn =  7 × 3n      pour tout entier naturel n.

                1. Quelle est la nature de cette suite?

                   On a :      wn+1  -  wn =  7 × 3n+1   -   7 × 3n   =  7 × 3n  × ( 3 - 1 )

                   c-à-d          wn+1  -  wn = 14 × 3n         pour tout n dans IN.

            Conclusion: Elle est géométrique de raison 3.

                     Son premier terme est   w0 =  7. 

                 2. Calculer la somme :

                           S = w0   + w1   + .... + w9  

                       Il y a 10 termes. 

                       La raison   c-à-d 3 n'est pas 1.

          Ainsi :     S = w0 (  ( 1 -  310 ) /  ( 1 -  3 ) )

          c-à-d         S = 7 × (  ( 1 -  310 ) /  ( 1 -  3 ) )

                       Conclusion: S = 206 668

                3. Donner le sens de variation de la suite.

 

              On a vu que :   wn+1  -  wn = 14 × 3n         pour tout n dans IN.

 

                Donc:       wn + 1   -  vn   ≥ 0  pour tout n dans IN.

                     Conclusion:  Elle est croissante sur IN.

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      Exercice 4

          Soit la suite ( tn )  géométrique de raison 2 et de premier terme

             t0  = 1

           1. A quel terme correspond 512?

                On a :    tn  = 1× 2n      pour tout n dans IN.

                On constate que:   29 = 512

                Donc pour n = 9  on obtient:   

                     t9  = 512

                 Conclusion :    512 = t9       

           2. Calculer la somme :

                S = 1 + 2 + 4 + 8 + ....... + 256 + 512

                     Il y a 10 termes. 

                     S = 1 + 21 +22 + ...........+ 29

                     La suite est géométrique de raison  2 différente de 1.

                     S = 1 × (  ( 1 -  210 ) /  ( 1 -  2 ) )

                      Conclusion :  S = 1023

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