INFO DS n° 3 1ES 17/11/09
Exercice 1 .
Le plan est muni d'un repère orthonormal.
Soit la suite récurrente ( un ) définie par :
un + 1 = - un + 2 pour tout entier naturel n.
u0 = 3
1. Représenter les trois premiers termes de cette suite sur l'axe des abscisses
à l'aide d'un web. ( On tracera les droites d'équations y = x et y = - x + 2 )
On voit que u( 1 ) = - 1 et u( 2 ) = 3
c-à-d u1 = - 1 et u2 = 3
2. Quelle remarque peut-on faire?
Elle prend alternativement les valeurs 3 et - 1.
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Exercice 2
Soit la suite ( vn ) telle que :
vn = 7 - 2 n pour tout entier naturel n.
1. Quelle est la nature de cette suite?
vn+1 - vn = 7 - 2 ( n + 1 ) - ( 7 - 2 n )
vn+1 - vn = 7 - 2 n - 2 - 7 + 2 n
vn+1 - vn = = - 2 pour tout entier naturel n.
Conclusion : Elle est arithmétique de raison - 2
2. Calculer la somme :
S = v0 + v1 + .. .. + v9
Il y a 1 + 9 termes.
v9 = 7 - 18 = - 11 et v0 = 7
On a : S = [ ( v0 + v9 ) / 2 ] ×10
c-à-d S = [ ( 7 - 11 ) / 2 ] ×10 = - 20
Conclusion : S = - 20
3. Donner le sens de variation de la suite.
La raison - 2 est négative.
Conclusion: Elle est décroissante sur IN.
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Exercice 3
Soit la suite ( wn ) telle que :
wn = 7 × 3n pour tout entier naturel n.
1. Quelle est la nature de cette suite?
On a : wn+1 - wn = 7 × 3n+1 - 7 × 3n = 7 × 3n × ( 3 - 1 )
c-à-d wn+1 - wn = 14 × 3n pour tout n dans IN.
Conclusion: Elle est géométrique de raison 3.
Son premier terme est w0 = 7.
2. Calculer la somme :
S = w0 + w1 + .... + w9
Il y a 10 termes.
La raison c-à-d 3 n'est pas 1.
Ainsi : S = w0 ( ( 1 - 310 ) / ( 1 - 3 ) )
c-à-d S = 7 × ( ( 1 - 310 ) / ( 1 - 3 ) )
Conclusion: S = 206 668
3. Donner le sens de variation de la suite.
On a vu que : wn+1 - wn = 14 × 3n pour tout n dans IN.
Donc: wn + 1 - vn ≥ 0 pour tout n dans IN.
Conclusion: Elle est croissante sur IN.
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Exercice 4
Soit la suite ( tn ) géométrique de raison 2 et de premier terme
t0 = 1
1. A quel terme correspond 512?
On a : tn = 1× 2n pour tout n dans IN.
On constate que: 29 = 512
Donc pour n = 9 on obtient:
t9 = 512
Conclusion : 512 = t9
2. Calculer la somme :
S = 1 + 2 + 4 + 8 + ....... + 256 + 512
Il y a 10 termes.
S = 1 + 21 +22 + ...........+ 29
La suite est géométrique de raison 2 différente de 1.
S = 1 × ( ( 1 - 210 ) / ( 1 - 2 ) )
Conclusion : S = 1023
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