Cours: SUITES NUMERIQUES 1S

 SUITES NUMERIQUES             MAI 09         1S                COURS     

       I. GENERALITES.

         1. Définition.

             On appelle suite numérique une application u de IN , ou d'une partie de IN comme IN*  ,

             qui à tout entier n associe le réel noté u( n ) ou encore un  .

             On la note ( u ) ou encore ( un  ) .

            2. Exemple:    Soit la fonction u : IN →  IR

                                                          n  → n²

                 u est une fonction numérique définie dans IN c'est donc une application de IN dans IR .

                 u est une suite numérique.

                 On dit que son terme général est  u( n ) = un   = n²   pour tout n dans IN.

                 Tableau des premières valeurs prises par la suite ( u ). 

n u( n )
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
     etc...

                3. Remarque.  Comme toute application numérique, une suite peut être représentée

                  dans un repère cartésien ( O ; vect( i ) , vect ( j ) ).

                   Ainsi la suite de l'exemple est représentée par:

                Il ne faut surtout pas relier sur le graphique les points isolés.

            4. PROPRIETE.              ( Sens de variation d'une suite. )

                 Soit la suite ( u ) définie sur IN.

  a.  La suite ( u ) est croissante sur IN   ssi l'une des conditions équivalentes suivantes est réalisée.

                    •   u( n + 1 ) >=  u( n )               pour tout n dans IN.

                     •   u( n + 1 ) -  u( n ) >= 0           pour tout n dans IN.

                Si en plus on sait que la suite est à termes strictement positifs on peut

                remplacer la condition par   u ( n + 1 ) / u( n ) >= 1  pour tout n dans IN.

    b.   La suite ( u ) est décroissante sur IN   ssi l'une des conditions équivalentes suivantes est réalisée.

                    •   u( n + 1 ) =< u( n )               pour tout n dans IN.

                     •   u( n + 1 ) -  u( n ) =< 0           pour tout n dans IN.

                Si en plus on sait que la suite est à termes strictement positifs on peut

                remplacer la condition par   u ( n + 1 ) / u( n ) =< 1  pour tout n dans IN.

           5. EXEMPLE.

                Donner le sens de variation de la suite de terme général  un = n²   pour tout n dans IN.

                Réponse:

              Soit n dans IN quelconque.

               On a:        un + 1   - un  = ( n + 1)² - n² = ( n+ 1 + n ) ( n + 1 - n )

               c-à-d          un + 1   - un    = 2 n + 1

                Or              2 n + 1 >=  0          pour tout n dans IN.

               Donc          un + 1   - un   >= 0    pour tout n dans IN.     

              Conclusion : La suite ( u ) est croissante sur IN.

                On pouvait raisonner autrement:

                Dire que la fonction  u : x→ x²  est croissante sur IR+ .

                IN est inclus dans IR+ .

                Ainsi la restriction de u à IN  l'est aussi.

                Donc la suite ( u ) est bien croissante sur IN .

            6. PROPRIETE. (  Suite bornée , majorée ,minorée )

                    Soit la suite ( u ) définie sur IN.        

   La suite ( u ) est majorée  sur IN  ssi il existe un réel M tel que :   un  =< M   pour tout n dans IN        

   La suite ( u ) est minorée  sur IN  ssi il existe un réel m tel que :  m =< un     pour tout n dans IN              

   La suite (  u ) est bornée   sur IN  ssi il existe deux  réels  m et  M tels que :   m =<  un  =< M    pour tout n dans IN      

              7. EXEMPLE.

                   Montrer que la suite de terme général   un =   n / ( n + 1 )   pour tout n dans IN

                   est bornée sur IN.

                   Réponse: 

                  Cette suite est bien définie sur IN.

                  Soit n dans IN.

                   On a :  un  = n  / ( n + 1 )

                    c-à-d   un  = ( n+ 1 - 1  ) / ( n + 1 )             car   1 - 1 = 0

                    c-à-d      un  =(  ( n+ 1 ) - 1  ) / ( n + 1 )  

                    c-à-d     un  = ( n + 1 ) / (  n + 1 )  -   1 / ( n + 1 )   

                    c-à-d         un  = 1 -   1 / ( n + 1 )   

                   Comme     1 / ( n + 1) > 0   on a    1 -   1 / ( n + 1 )  < 1  

                       Donc       un  < 1               ( La suite ( u ) est majorée par 1 sur IN .)

                   De plus   0 =<   n / ( n + 1 ) 

                       Donc    0 =<  un            ( La suite ( u ) est minorée par 0 sur IN .)

               Ainsi    0 =<  un  < 1    pour tout n dans IN.

  Conclusion: La suite ( u ) est bornée par 0 et 1 sur IN  

               7. SUITES RECURENTES.

                  C'est une suite définie par son premier terme et une relation de récurrence liant

                  les deux termes consécutifs de rang n et n + 1 .

               8. EXEMPLE.

                     Soit la suite ( u ) telle que:

                     u0  = 1 

                     un + 1 = 3  un   + 2    pour tout n dans IN.

                    C'est une suite récurrente. 

                      Si l'on considère la fonction affine f : x → 3 x + 2

                     On a :            u0  = 1 

                                          un + 1 = f( un  )  pour tout n dans IN.

                   9. REPRESENTATION D'UNE SUITE RECURRENTE SUR L'AXE DES ABSCISSES. WEB.

                     Soit la suite récurrente :     u0  = 1 

                                                                 un + 1 = f( un  )  pour tout n dans IN.

                   On trace la courbe ( C ) de la fonction f.

                   On trace la droite D d'équation  y = x .                  

                   On place sur l'axe des abscisses u0  .

                   A partir du point  de coordonnées (  u0  , f( u0 ) ) sur ( C ) on va jusqu'au point de coordonnées

                   ( f( u0 ) , f( u0 ) ) situé sur D. L'abscisse de ce point est  u1   .

                   On répète le processus.

              10. EXEMPLE.

                   Considérons la suite récurrente ( u ) telle que:

                     u0  = 1 

                     un + 1 = 3  un   + 2    pour tout n dans IN.

                     On trace la droite D : y = x .

                     On trace la droite  D' : y = 3 x + 2