EXERCICE 3 sujet 2015

                    INFO  EXERCICE 3          bac S 2015

               1. Résoudre dans l'ensemble  des nombres complexes l'équation ( E ) d'inconnue z:

                       z2  − 8 z + 64  = 0   

                    Le plan  complexe est muni d'un repère orthonormé direct 

                         21lo

                          a = 1           b ' = − 4                c = 64               ∆'  =  b ' 2 −  a c 

                    ∆'  = ( − 4 )2 − 1 x 64 = − 48

                   c-à-d

                     ∆'    = 3 x 42 x i2   =  ( 4 i √ 3  )2

             Les racines sont : 

                           23lo

            Les solutions sont :       4 − 4 i √ 3      et     4 + 4 i √ 3 

              2. On considère les points A, B et C d'affixes respectives a = 4 + 4 i √ 3  ,  b = 4 − 4 i √ 3    et  c = 8 i

                  a. Calculer le module et un argument de a.

                   On a :             a = 4 ( 1 + i √ 3 )

                Donc :       | a | = 4 |  1 + i √ 3 | = 4  √( 12 +( √ 3 )2 ) = 4   √4 = 8

                    Conclusion:     | a | = 8

                   Ainsi :    a = 8 ( 1 / 2 + i  √3 / 2 )

                           Posons:     cos ß = 1 / 2

                                                 sin ß = √3 / 2

                               ß = ∏ / 3  convient

                     Conclusion : un argument de a est  ∏ / 3

                  b. Donner la forme exponentielle des nombres a et b.

                      En conséquence :

                            22lo  

                c. Montrer que les points A,B et C sont sur un même cercle( C ) de centre O dont on déterminera le rayon.

                     On a :         | a| = | b | = 8    et   | c | = | 8 i | = 8

                     Donc:   OA = OB = OC

               Conclusion:   Les points A , B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon 8.

                d. Placer les points A,Bet c dans le repère 

                               21lo

                                  24lo

                   Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question 2.d

                  complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.

             3. On considère les points A ' , B ' et C ' d'affixes respectives                               .

              Lo

                   a. Montrer que b ' = 8.

                     27lo

                  Conclusion:  b ' = 8

                    b. Calculer le module et un argument du nombre a '.

                        28lo

            Conclusion:  | a ' | = 8   et   un argument de a ' est    2 ∏ / 3

                 Pour la suite on admet que     a ' = − 4 + 4 i √ 3   et    c ' =  − 4  √ 3 + 4 i

            4.  On admet que si M et   N sont deux points du plan d'affixes respectives

               m et n alors le milieu I du segment [MN] a pour affixe  ( m + n ) / 2

               et la longueur MN est égale à | n − m|.

               a. On note r , s  et  t  les affixes des miieux respectifs R , S et T des

                   segments [ A ' B ] , [ B ' C] et [ C ' A ].

                    Calculer r et s . On admet  que t = 2 − 2√3 + i ( 2 +  2√3 ).

                            On a :       r = ( a ' + b ) / 2

                      c-à-d           r = (  − 4 + 4 i √ 3  +  4 − 4 i √ 3 ) / 2 = 0

                      Conclusion:   r = 0

                         On a   s = ( b ' + c ) / 2

                        c-à-d

                                    s = ( 8 + 8 i ) / 2 = 4 + 4 i

                       Conclusion:    s = 4 + 4 i

          b . Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST? Justifier ce résultat.

                   Le triangle RST semble équilatéral.

                    En effet :   ST = RS = RT = 4 √2

                 •  RS = | s − 0| = | 4 + 4 i |  = 4 × | 1 + i |  = 4 √( 12 + 12 ) = 4 √2

                   c-à-d      RS =  4 √2                

                 •  RT = | t − 0| = | t |  = √[ (  2 − 2√3 )2  +   ( 2 +  2√3 )2 ]                 

                 c-à-d

                    RT = √[   4 + 12  − 8 √3  + 4 + 12  + 8 √3   ]  = √ 32 = 4 √2

                 • ST= | t − s |=  |  2 − 2√3 + i ( 2 +  2√3 ) − 4 − 4 i |= | − 2 − 2√3 + i (−2 +  2√3 ) |

                   c-à-d

                   ST =   √[ (  − 2 − 2√3 )2  +   ( − 2 +  2√3 )2 ]   =   √[   4 + 12  + 8 √3  + 4 + 12  − 8 √3   ]  =  √ 32 = 4 √2

                Conclusion : Le triangle RST est bien équilatéral.

                       29lo

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