INFO Nombres de Mersenne.Nombres parfaits

       INFO    Nombre de MersenneNombre parfait             TS  Spé. maths.

          EXERCICE 1:

                   On pose:      Mn = 2n − 1   pour tout entier naturel non nul n

                          ( NOMBRES DE MERSENNE )

         1. Donner les entiers M1, M2 ,.... , M10 .

             REPONSE:

                 M1 = 21 − 1 = 1                     M6 = 26 − 1 = 63

                 M2 = 22 − 1 = 3                      M7 = 27 − 1 = 127

                 M3 = 23 − 1 = 7                      M8 = 28 − 1 = 255

                  M4 = 24 − 1 =15                     M9 = 29 − 1 = 511

                  M5 = 25 − 1 = 31                     M10 = 210 − 1 =1023

              Conclusion :  M1, M2 ,.... , M10   sont :

                  1 ; 3 ; 7 ; 15 ; 31 ; 63 ; 127 ; 255 ; 511 ; 1023

          2. Conjecturer une condition sur n pour que:  3 | M.

             REPONSE:      M2 = 3          M4 = 15 = 3 ×  5       M6 =  63 = 3 × 3×  7

                                M8 = 255 = × 85             M10 = 1023 = ×  341

             Conclusion: On peut conjecture que Mn est divisble par 3

                  quand n est un entier pair non nul.

         3. Établir  cette conjecture.          

                  REPONSE:

                Disjonction de cas:

         • Soit n un entier naturel pair non nul.

               Il existe un entier naturel p non nul tel que :  n = 2p

           On a :               2= 1 + 3

           Ainsi :            2  ≡ 1  [ 3 ]

          Donc :            (   2  )p  ≡ 1p  [ 3 ]

           c-à-d :              22p  ≡ 1  [ 3 ]

           c-à-d               22p  − 1 ≡ 0  [ 3 ]

           c-à-d                     M n  ≡ 0  [ 3 ]

            Donc                3 | M n    

            •  Soit n un entier naturel impair .

               Il existe un entier naturel p  tel que :  n = 2p +1

              On a vu :   22p  ≡ 1  [ 3 ]

             Donc    2 ×  22p  ≡ 2 × 1  [ 3 ]

                c-à-d      22p+1   − 1 ≡ 1  [ 3 ]

                c-à-d     Mn  ≡ 1  [ 3 ]  avec   0 ≤ 1 < 3

              Le reste de la division de Mn par 3 est 1 donc non nul

              Donc 3 ne divise pas Mn

           Conclusion: On a montré que Mn  est divisible par 3

                 si et seulement si n est un entier naturel pair non nul.  

         4. Mn peut-il être pair ?

             REPONSE:  

                NON. En effet:

           Soit   n est un entier naturel non nul.

         On a :    Mn = 2n −1    

        Donc :    1 = 2n −  Mn   

         2n    est   pair car n est un entier naturel non nul.

       Raisonnons par 'absurde:

         Si  Mn   était pair alors  2n −  Mn   le serait aussi , donc 1 serait pair.

       Absurde.

       Conclusion:    Pour tout entier naturel non nul    Mn  n'est pas pair.

       5. Conjecture une condition sur n pour que:  5 | M.

           REPONSE: 

              M4  =15  = × ​3       M8 = 255 =  × 51

           Conclusion :

           On peut conjecturer que Mn est divisible par 5  quand

           n est un entier naturel on nul divisible par 4.

         6. Etablir cette conjecture.

           REPONSE:

         •    Soit n un entier naturel non nul divisible par 4.

             Il existe p dans IN* tel que  n = 4 p

          On a :     24 = 16 = 1 + 5×  3

          Ainsi :        24  ≡   1  [ 5 ]

         Donc       (  24  )p ≡   1p  [ 5 ]

         c-à-d         24p ≡   1  [ 5 ]

          c-à-d          24p    − 1 ≡   0  [ 5 ]

         c-à-d        M4p   ≡   0  [ 5 ]

         c-à-d         4 |   Mn  

          Ainsi on a montré que si l'entier naturel non nul n

          est divisible par 4 alors Mn est divisible par 5.

       • Soit n un entier naturel non nul non divisible par 4.

           Il existe p dans IN tel que  n = 4 p + r   avec r dans { 1 ; 2 ; 3 }

          On a vu que :    24p ≡   1  [ 5 ]

         Donc :     24p  × r ≡   1×   [ 5 ]  

        c-à-d              24p≡    2   [ 5 ]  

          c-à-d               2n ≡    2   [ 5 ]

         c-à-d                2n   − 1 ≡    2 − ​1  [ 5 ]

           c-à-d                  Mn     ≡    2 − ​1  [ 5 ]

           Mais      2 − ​1   n'est pas un multiple de 5 quand r est dans { 1 ; 2 ; 3 }.

       En effet:       2 − ​1  = 1         2 − ​1  = 3       2 − ​1  = 7

                             1 ; 3 ; 7 ne sont pas des multiples de 5

           Donc :      Mn    n'est pas divisible par 5.

          Conclusion: On a montré que    Mn    est divisible par 5

           si et seulement par n est un entier naturel non nul divisible par 4.

         7. On considère également la suite récurrente ( un ) définie sur IN

            définie par :

                •    u0 = 4

                •    un + 1   = un2 − 2      pour tout entier naturel  n

           On admet le th. d'un mathématicien Lucas suivant:

            <<    Pour tout entier naturel n tel que n ≥ 2 :

                  Mn  est premier  si et seulement si    Mn | un − 2           >>

                         A-t-on M5   qui est premier d'après ce th.  ?

    REPONSE:

                     5 ≥ 2

                 M5   = 31

            On a d'après Lucas:      M5  premier   ⇔   M5 | u5 − 2    

              On a :          u5 − 2   = u3   

              Donc :            M5   premier  ⇔   M5 | u3     

                On a :      u1  =  u2  − 2  = 42  − 2  = 14

                                 u2  =  u1 2 − 2    = 142 − 2  = 194

                                 u  = u2 2 − 2   = 1942 − 2   = 37634

                 Or   37634  = 31 ×  1214

             Ainsi :      M5 | u3   

            Cela signifie que   M5   est premier  c-à-d  31

             est premier d'après l'équivalence.

             Conclusion :    M5   est premier

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      EXERCICE 2

      Un entier naturel n est dit parfait quand la somme de ses

       diviseurs dans IN* est égale à 2 n .

       Par exemple:         Soit n = 6     n est dans IN.

                                      n = 2 × 3

           Les diviseurs de 6 sont : 1  ; 2  ; 3  ; 6

            Or    1  + 2  + 3  + 6 = 12

                  et       12 = 2 × 6

              6 est donc  un nombre parfait.

           Un résultat du Mathématicien Euclide dit:

         <<    Soit n un entier naturel .  Soit  Mn + 1 =   2n + 1 − 1

                Alors:

               2n + 1 − 1   est premier  ⇒  2n Mn + 1     est parfait        >>

         1. Les entiers naturels  8 , 10 , 26 sont-ils parfaits ?

                REPONSE :

            •   Les diviseurs de 8 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8

                 1 + 2 + 4 + 8 = 15    et   8 ×  2 =16 

                 Comme   15  16     8 n'est pas parfait

            •   Les diviseurs de 10 sont:  1 ; 2 ; 5 ; 10

                 1 + 2 + 5 +10  = 18     et   10 ×  2 = 20 

                    Comme   18  20     10 n'est pas parfait

              •   Les diviseurs de 26 sont : 1 ; 2 ; 13 ; 26

                1+2+13+26 = 42     et      26 × 2 = 52 

                  Comme   42  52     26 n'est pas parfait

      2. On considère M5    = 24 + 1 − 1 

               Donner alors un nombre parfait , en utilisant la dernière 

               question de l'exercice 1.   et le résultat d'Euclide.

            REPONSE:

               On sait à présent que M5  est premier.

              C'est-à-dire  24 + 1 − 1  est premier.

              Donc d'après le résultat admis on a :     24 M4 +1    parfait.

             24 M4 +1  = 16  × 31 = 496

              Conclusion :    496 est un nombre parfait

        3.  On veut expliquer le résultat d'Euclide.

            On pose  A =  2n Mn + 1 . On suppose Mn + 1 que est premier.

            On veut savoir si A est parfait.

           a. Donner tous les diviseurs de  2n  , puis ceux de A.

               REPONSE:

                Les diviseurs de 2n   sont:   1 , 2 , ... ,2n  

                  Donc ceux de A  =  2n Mn + 1     sont : 

          Conclusion:        1 , 2 , ... ,2n     et aussi     1Mn + 1 , 2Mn + 1 , ... ,2n Mn + 1      

           b. Montrer que leur somme est    S= (2n+1 − 1 ) 2n + 1  

             REPONSE:

             Leur somme est S :

                   S = 1 + 2+ ... + 2n   + 1 Mn + 1 + 2Mn + 1 + ... +2n Mn + 1   

               c-à-d

                   S = 1 + 2+ ... + 2n   + Mn + 1 ( 1+ 2 + ... +2n   )

                 c-à-d

                  S =( 1  + Mn + 1 )( 1+ 2 + ... +2n   )

               c-à-d

                    S =( 1  + 2 n+1 − 1 )( 1− 2n+1   ) / (1 −  2 )            2 distinct de 1

             c-à-d

                   S = 2 n+1 (  2n+1   − 1 )

               Conclusion: On a bien le résultat.

          c.  Comparer S et  2 A.

                Conclure.

              REPONSE:

           On a :     2 A = 2×  2n Mn + 1   =  2n+1  Mn + 1 

         c-à-d        2 A =    2n+1  Mn + 1   =  2n+1   ( 2n + 1  − 1 )

          c-à-d            2 A =  S

             La somme des diviseurs de A  est égale au double de A.

           A est donc parfait.

             c-à-d    2n Mn + 1   est parfait 

           Conclusion :   En supposant    Mn + 1  premier

                       on a montré que  2n Mn + 1   est parfait.

            On a donc montré l'implication d'Euclide:

            2n + 1 − 1   est premier  ⇒  2n Mn + 1     est parfait      

          pour tout entier naturel n