Devoir surveillé BTS1 Vendredi 10 avril 2009
EXERCICE 1
1. Résoudre dans IR3 le système linéaire suivant.
| 2 x + y + z | = 0 |
| 5 y - 7 z | = 8 |
| 3 z | = 3 |
2. Triangulariser le système puis le résoudre.
| x + 2 y + z | = 0 |
| x + y + 4 z | = 4 |
| x- y - z | = 1 |
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EXERCICE 2
Soit les matrices :
/ 0
1
-1 \
M =
| -3
4
-3 |
\ -1
1
0 /
| / 1 | 0 | 0 \ | |
| I = | | 0 | 1 | 0 | |
| \ 0 | 0 | 1 / |
1. Calculer M2 et M3 .
2. Déterminer les réels a et b tels que M2 = a M + b I .
3. Exprimer alors M3 en fonction de M et I , puis écrire M3 sous la forme d'une
matrice à trois lignes et à trois colonnes.
Comparer avec le résultat obtenu à la première question.
4. a . Déduire de l'égalité trouvée à la deuxième question que l'on peut écrire
I = ( 1 / 2 ) M × ( 3 I - M )
b . En déduire une matrice P telle que MP = I.
c. Ecrire P sous la forme d'une matrice à trois lignes et trois colonnes.
d. Calculer P × M
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EXERCICE 3
On considère le graphe défini par le tableau suivant:
| Sommets | Successeurs |
| A | A B D |
| B | A C |
| C | A |
| D | C |
1. Déterminer la matrice adjacente M de ce graphe .
2. a. Calculer la matrice M² = M ×M où × représente la multiplication des matrices.
b. Utiliser le résultat précédent pour calculer le nombre total de chemins de longueur 2
du graphe puis le nombre de chemins de longueur 2 partant de A.
Citer tous les chemins de longueur 2 partant de A.
3. Citer tous les chemins de longueur 3 partant de D.
( On pourra utiliser M3 . )
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EXERCICE 4
Les questions 1) et 2) peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.
1. On considère l'ensemble E = { x1 , x2 , x3 } et l'application f de E dans E définie par
f( x1 ) = x2
f( x2 ) = x3
f( x3 ) = x2
a. Déterminer les antécendents par f de chacun des éléments de l'ensemble E.
b. L'application f est-elle une injection de E dans E ? ( Justifier ).
c. L'application f est-elle une surjection de E sur E ? ( Justifier ).
2. On considère le graphe orienté G , de sommets x1 , x2 et x3 , tels que les successeurs
de x1 , x2 , x3 sont respectivement f( x1 ) , f( x2 ) , f( x3 ) .
a. Donner une représentation géométrique de ce graphe.
b. On note M la matrice d'adjacence de G.
On constate que :
/ 0
1
0 \
M =
| 0
0
1 |
\ 0
1
0 /
Expliquer pourquoi la première ligne de M est 0 1 0 .
c. On note G ' la fermeture transitive de G.
On rappelle que G' est le graphe obtenu en conservant les sommets de G
et en ajoutant , s'ils n'existent pas dans G, les arcs ( xi , xj ) lorsqu'il existe un chemin
d'origine xi et d'extrémité xj dans le graphe de G.
Tracer la représentation géométrique de G' et vérifier que la matrice adjacente M '
du graphe G' est :
/ 0
1
1 \
| 0
1
1 |
\ 0
1
1 /
d. Calculer les matrices booléennes M[2] et M[3] .
Vérifier que M ' = M (+) M[2] (+) M[3] ,
où (+) représente l'addition booléenne des matrices.
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