INFO TEST2 SUITE

                                                 INFO TEST2  SUR LES SUITES        11  MAI 2012 

    EXERCICE 1

          Soit la suite récurrente (u_n ) définie sur IN par:

                u₀ = 1

                u_{n + 1}    = ( 2 u_n + 5 ) / 3  pour tout n dans IN 

         On considère également la suite ( v_n ) définie sur IN par :

               v_n = u_n - 5    pour tout n dans IN

      1. Calculer u₁ ,  u₂ , u₃  .

          Réponse:  

                 u₁    = ( 2 u₀ + 5 ) / 3  = ( 2×1+ 5 ) / 3 =  7 / 3

                 u₂    = ( 2 u₁ + 5 ) / 3  = ( ( 2×( 7 / 3 ) + 5 ) / 3 = 14 / 9 + 5/ 3 =  29 / 9 

               u₃   = ( 2 u₂ + 5 ) / 3  = ( 2 ×( 29 / 9) + 5 ) / 3 =   58/ 27 + 5 / 3 = 103 / 27

       2. La suite (u_n )  est-elle arithmétique, géométrique, quelconque?

         Réponse:

          La suite ( u_n ) est quelconque. 

          En effet:

          • Elle n'est pas arithmétique car

          u₁ - u₀ =  ( 7 / 3) - 1 = 4 / 3         et       u₂ - u₁ = ( 29 / 9 ) - ( 7 / 3) =  50 / 9 

                    mais     4 / 3   ≠  50 / 9 _n

            • Elle n'est pas géométrique car

            u₁ / u₀   = ( 7 / 3) / 1 = 7 / 3             et     u₂ / u₁  = ( 29 / 9 )/ ( 7 / 3) = 29 / 21

                           mais    7 / 3  ≠  29 / 21

                  Conclusion : La suite ( u_n )est quelconque

      3. Quelle fonction f permet d'obtenir u_{n + 1}  à partir de u_n .

             Réponse :

                   On a   u = f( u_n ) pour tout n dans IN  avec f : x → ( 2 x + 5 ) / 3

            Conclusion :     f: x  → ( 2 x + 5 ) / 3

      4. Démontrer que la suite ( v_n ) est une suite géométrique

         dont on donnera la raison et le premier terme.

              Réponse :

               On a :      v_n  = u_n  -  5 

              Donc        v_{n + 1}  = u_{n + 1}  -  5 

              Or                            u_{n + 1}   = ( 2 u_n + 5 ) / 3

            D'où     v_{n + 1}  = ( 2 u_n + 5 ) / 3  -  5  = (2 / 3 )u_n  + ( 5 / 3 ) - 5

           c-à-d        v_{n + 1}  = (2 / 3 ) u_n    - 10  / 3

           Mais    u_n  =  v_n   +  5 

        D'où        v_{n + 1}  = (2 / 3 )( v_n   +  5  ) - 10  / 3 =  (2 / 3 )   v_n +  10 / 3  - 10  / 3 

          c-à-d       v_{n + 1}  = (2 / 3 ) v   pour tout n dans IN _nn    

                   Conclusion: La suite ( v_n  ) est géométrique de raison q =  2 / 3

                   On a:   v₀  = u₀  -  5 = - 4

                     c-à-d    v₀  = - 4

     5. Exprimer  v_n en fonction de n.

        Puis exprimer u_n  en fonction de n.

           Réponse :

           On a   v₀   =  - 4

                      q = 2 / 3  distinct de 1

            Donc :

           Conclusion:  v_n =  - 4  ( 2 / 3 )ⁿ      pour tout n dans IN

            Comme u_n = v_n  + 5 

            Conclusion:   u_n =  - 4  ( 2 / 3 )ⁿ  + 5  pour tout n dans IN

     6. Calculer la somme v₀ + ..... + v₉

             On a:      v₀ + ..... + v₉  = v₀   (  ( 1 -  ( 2 / 3 )¹⁰    ) / ( 1 - ( 2 / 3 ) )

             c-à-d        v₀ + ..... + v₉  = - 4    (  ( 1 -  ( 2 / 3 )¹⁰    ) /  ( 1 / 3  )

             c-à-d        v₀ + ..... + v₉  = - 4× 3    ( 1 -  ( 2 / 3 )¹⁰    )

              c-à-d    

               Conclusion :   v₀ + ..... + v₉  =  12 ( ( 2 / 3 )¹⁰   - 1)

                  v₀ + ..... + v₉  ≈ - 11,79

     7. Que donne le programme en Python 2 suivant?

        from __future__ import division

       def suit(n):

              if n==0:

                 return 1

              else:

                   return (2*suit(n-1) + 5 ) / 3

       # programme principal#

         ##################

       n=int(input("Donner l'indice n du terme de la suite ( u_n ) qui vous interesse: n = "))

      print "u",n,"=",suit(n)

 Réponse:  

           Le module:  from __future__ import division

           est indispensable pour avoir la forme décimale du résultat

      •Le programme principal demande d'entrer l'entier n à l'utilisateur.

       •Le programme principal appelle le script ( ou fonction ) suit(n).

        • Ce script suit(n) retourne la valeur de u_n .

       • Enfin le programme principal écrit la valeur de  u_n  qui lui a été retournée.

             Conclusion :   Il affiche la valeur de u _n  quand l'utilisateur entre l'entier n

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    EXERCICE 2      

               Soit la suite récurrente (u_n ) définie sur IN par:

                u₀ = 13

                u_{n + 1}    = (1 / 5 ) u_n + 4 / 5  pour tout n dans IN 

        1. Est-il plausible que u_n = 1 + 12 / 5ⁿ    pour tout n dans IN?

            Puis montrez le par récurrence sur IN.

            Réponse:

                    OUI. C'est plausible.

                   En effet les premiers termes le confirment sans le prouver. 

                u₀ = 13         or                                      1 + 12 / 5⁰    = 1 + 12 = 13 

   u₁= (1 / 5 ) u₀ + 4 / 5 = (13 / 5 ) +( 4 / 5 ) = 17/ 5       or        1 + 12 / 5¹ =  17 / 5     

          u₂ = (1 / 5 ) u₁ + 4 / 5 = (1 / 5 ) ( 17 / 5 ) + 4 / 5 = ( 17 / 25 ) + (20 / 25) = 37 / 25 

                                                     Or    1 + 12 / 5²   = ( 25 / 25 )+  ( 12 / 25 ) = 37 / 25

              Pour l'établir il faut une récurrence sur IN.

                 •Pour n = 0 

                       C'est vrai . 

                        u₀ = 13         or       1 + 12 / 5⁰    = 1 + 12 = 13 

                  •Soit  n quelconque dans IN.

                   Montrons que si   u _n  =  1 +  12 / 5ⁿ     alors   u _{n + 1}  =  1 +  12 / 5^{n + 1}   .

                           On a :

         u _{n + 1}  = ( 1 / 5 ) u_n   +  ( 4 / 5 ) 

           c-à-d

              u _{n + 1}  =   ( 1 / 5 )  ( 1 + 12 / 5ⁿ  ) +   ( 4 / 5 )   sachant  u _n  =  1 +  12 / 5ⁿ 

            c-à-d 

        u _{n + 1}  =  ( 1 / 5 )  +  12 / 5^{n + 1}     +   ( 4 / 5 ) = 1 +  12 / 5^{n + 1}   

             c-à-d

          u _{n + 1}  =  1 +  12 / 5^{n + 1}   

           On a bien la formule à l'orfre n+1.

    Conclusion :  C'est prouvé

  2. Soit  v_n = u_n - 1  pour tout n dans IN?

             La suite (  v_n ) est-elle géométrique? 

              Réponse:

             OUI.

             u_n = 1 +  12 / 5ⁿ      

             Donc     u_n - 1  = 12 / 5ⁿ

             c-à-d  

             v_n  = 12 / 5ⁿ   = 12 ( 1 / 5 )ⁿ     pour tout n dans IN.

               Conclusion:  La suite (   v_n  ) est géométrique de raison q = 1 / 5

                     et de premier terme    v₀  = 12 / 5⁰   =12

        3. Dans l'affirmative donner sa raison et son premier terme.

            Réponse:

                   On a vu déjà que :     v_n  = 12 / 5ⁿ        pour tout n dans IN                       

       4. Que  donne le programme en Python 2 suivant?   

        from __future__ import division      

       def zuit(n):

              if n==0:

                 return 13

              else:

                   return (1 / 5 ) *zuit(n-1) + 4 / 5

       # programme principal#

         ##################

       n=int(input("Donner l'indice n du terme de la suite ( u_n ) qui vous interesse: n = "))

      print "u",n,"=",zuit(n)

  Réponse:

            En entrant l'entier n le programme retourne la valeur décimale de u_n  .

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