INFO EX 4 LISTE 2 SUITES MAI

  INFO EX 4  LISTE 2 MAI 09  1S1

           EXERCICE 4

                Notation:    0! = 1    par convention

                                      1! = 1

                                      2! = 1 × 2

                                     3! = 1 × 2 × 3            

                                       ...............           etc

                                    n!  = 1 × 2 × ....    × n      pour tout  entier naturel  n >= 2 .

                       Ainsi  :     n! × ( n + 1)  = ( n + 1 )!    pour tout entier naturel n.

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                 Soit la suite ( u ) définie sur    IN*  de

                 terme général   un  =  2   /  n!  .

               1. Calculer :   u1   ;  u2   ;  u3 ;  u4  .

                   Conjecturer le sens de variation de la suite ( u ) .

               2. a. La suite ( u ) est-elle à termes strictement positifs?

                   b. Calculer le quotient   un + 1   /  un  .

                   c.  En déduire le sens de variation de la suite ( u ).

              3. Etablir que : 

                   Pour tout n >= 3          0  =<  un + 1   /  un   =<  1 / 2

           ( EXTRAIT EX BAC )

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  Réponse:

               1.    • Calcul des premiers termes.

                          u1   =   2   /  1!   =   2 / 1 =   2

                         u2  =   2   /  2!    =   4 / 2  =   2

                         u3  =   2   /  3!   =  8 / 6   =    4 / 3

                        u4    =   24   /  4!    = 16 / 24  =  2  / 3

             Conclusion :       u1   =  2  

                                              u2  =   2   

                                             u3    =  4 / 3 

                                             u4    = 2 /  3 

                • Conjecturons le sens de variation de  la suite:

                   Comme   u1   >=  u2  >=   u2    >=   u4   on peut conjecturer :

                Conclusion:  La suite ( u ) est décroissante .  

        2. a.    On a :

                      2   /  n!  > 0    car    n! > 0   et   2  > 0 pour tout entier naturel non nul n.     

           Conclusion :   OUI,  la suite  ( u ) est à termes positifs strictement.

             b. Calculons  le quotient   un + 1   /  un  .

                     un + 1   /  un  =  2n+ 1    /  ( n + 1 )!  )   /   (  2   /  n!  )

             c-à-d

                      un + 1   /  un  = (  2n+ 1    /  ( n + 1 )!  ) (    n!  /   2  )

            c-à-d

                   un + 1   /  un  = (  2n+ 1    /   2  ) (    n!  /    (n + 1 )!    )

            c-à-d

          Conclusion:            un + 1   /  un  =   2    /   ( n + 1 )              avec n dans IN*   .

            c.Déduire le sens de variation de la suite ( u ).

                    On a  :    n >= 1   

                     Donc     n + 1 >= 2

                    D'où         0 < 2 /  ( n + 1 ) =< 1           pour tout entier n non nul.

                      c-à-d    un + 1   /  un  =< 1    pour tout entier n non nul.

               Conclusion : La suite ( u ) est bien décroissante sur IN*  .

         3. Montrons que:

                 pour tout n >= 3          0  =<  un + 1   /  un   =<  1 / 2

               •   On a déjà : 0  =<  un + 1   /  un      pour tout entier n non nul.

               •  On a :    un + 1   /  un  =    2  /  ( n + 1 )     pour tout entier n non nul.

               2  /  ( n + 1 )  =<    1 / 2     s'écrit    4   =<   n + 1

              c-à-d                                                      3 =< n

             Ainsi     un + 1   /  un   =<   1 / 2    quand   n >= 3

              On a bien l'encadrement :

        Conclusion:          0  =<   un + 1   /  un   =<   1 / 2    quand   n >=  3

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