INFO 1 Devoir Maison TS Juin 2012
GEOMETRIE DANS L'ESPACE
EXERCICE n° 27
Soit ABCDEFGH un cube d'arête a .
a. Calculer le produit scalaire vect(AB).vect(AC).
• Le vecteur vect(AC) se projette sur le vecteur non nul vect(AB) suivant vect(AB).
Ainsi :
vect(AB).vect(AC) = vect(AB). vect(AB) = AB2 = a2
• On pouvait, comme les deux vecteurs sont non nuls et coplanaires, dire aussi:
vect(AB).vect(AC) = AB × AC cos( BÂC) = a × a√2 ×cos(π/4)
c-à-d
vect(AB).vect(AC) = a × a√2 ×( √2 / 2 ) = a2
Mais c'est plus long.
Conclusion : vect(AB).vect(AC) = a2
b. Calculer le produit scalaire vect(AB).vect(DH).
L'arête [DH] est orthogonale au plan (ABCD).
Elle est donc orthogonale à toutes les droites de ce plan
et, en particulier, au segment [ AB].
Donc :
Conclusion : vect(AB).vect(DH)= 0
c. Calculer le produit scalaire vect(AB).vect(DG).
On a : vect( DG) = vect(AF)
Donc :
vect(AB).vect(DG) = vect(AB).vect(AF)
Cette configuration est identique à celle de la question a.
Aucun nouveau calcul.
Le vecteur vect(AF) se projette orthogonalement sur le vecteur
vect(AB) suivant le vecteur vect (AB).
Ainsi on obtient encore le carré scalaire du vecteur vecteur(AB).
vect(AB).vect(DG) = AB2 = a2
Conclusion : vect(AB).vect(DG)= a2
d. Calculer le produit scalaire vect(AB).vect(EG).
On a : vect(EG) = vect(AC)
On est ramené à la première question.
Aucun nouveau calcul.
vect(AB).vect(EG) = vect(AB).vect(AC) =a2
Conclusion : vect(AB).vect(EG ) =a2
e. Calculer le produit scalaire vect(BD).vect(EG).
On a : vect(EG) =vect(AC)
Donc : vect(BD).vect(EG)= vect(BD).vect(AC)
Or les diagonales [BD] et [AC] du carré ABCD sont orthogonale.
Ainsi : vect(BD).vect(EG) = 0
Conclusion : vect(BD).vect(EG) = 0
f. Calculer le produit scalaire vect(AC).vect(GE).
vect(GE) = vect(CA) = - vect(AC)
Donc:
vect(AC).vect(GE) =