INFO 1 EX DEVOIR MAISON juin TS2

                              INFO 1    Devoir Maison TS Juin 2012 

                                                 GEOMETRIE DANS L'ESPACE

          EXERCICE n° 27    

                         Soit ABCDEFGH un cube d'arête a .

                figure3-27-ts.jpg         

                

             a. Calculer le produit scalaire vect(AB).vect(AC).

               figure-27-ts.jpg

                •     Le vecteur  vect(AC) se projette sur le vecteur non nul vect(AB) suivant vect(AB).

                   Ainsi :

                      vect(AB).vect(AC) =  vect(AB). vect(AB) = AB2 = a2  

                •  On pouvait, comme les deux vecteurs sont non nuls et coplanaires, dire aussi:

                      vect(AB).vect(AC) = AB × AC cos( BÂC) = a  × a√2  ×cos(π/4)

                       c-à-d 

                       vect(AB).vect(AC) =  a  × a√2  ×( √2 / 2 ) = a2

                       Mais c'est plus long.

                     Conclusion :         vect(AB).vect(AC) =  a2  

                b.  Calculer le produit scalaire vect(AB).vect(DH).

                         figure4-27-ts.jpg

                     L'arête [DH] est orthogonale au plan (ABCD).

                     Elle est donc orthogonale à toutes les droites de ce plan 

                     et, en particulier, au segment [ AB].

                    Donc :

                     Conclusion : vect(AB).vect(DH)= 0

             c.  Calculer le produit scalaire vect(AB).vect(DG).

                   figure44-27-ts.jpg

                     On a :     vect( DG) = vect(AF)

                    Donc  :

                     vect(AB).vect(DG) = vect(AB).vect(AF)

                   Cette configuration est identique à celle de la question a. 

                     Aucun nouveau calcul.

                     Le vecteur  vect(AF) se projette orthogonalement sur le vecteur

                     vect(AB) suivant le vecteur vect (AB).

                     Ainsi on obtient encore le carré scalaire du vecteur vecteur(AB).

                     vect(AB).vect(DG) = AB2 = a2  

                    Conclusion : vect(AB).vect(DG)= a2  

            d. Calculer le produit scalaire vect(AB).vect(EG).

                 figure46-27-ts.jpg

                      On a :   vect(EG) = vect(AC)

                    On est ramené à la première question.

                      Aucun nouveau calcul.

                     vect(AB).vect(EG) = vect(AB).vect(AC) =a2 

                   Conclusion :  vect(AB).vect(EG ) =a2 

            e. Calculer le produit scalaire vect(BD).vect(EG).

                 figure45-27-ts.jpg

                   On a : vect(EG) =vect(AC)

                  Donc :    vect(BD).vect(EG)= vect(BD).vect(AC)

                  Or les diagonales [BD] et [AC] du carré ABCD sont orthogonale.

                 Ainsi :   vect(BD).vect(EG) = 0

                   Conclusion :  vect(BD).vect(EG) = 0

             f.  Calculer le produit scalaire vect(AC).vect(GE).

                 figure2-27-ts.jpg

                   vect(GE) = vect(CA) = - vect(AC)

                 Donc:  

                    vect(AC).vect(GE) = vect(AC).vect(CA) = -  vect(AC).vect(AC)

                          c-à-d

                        vect(AC).vect(GE) =- AC2 = - ( a √2  )2  = - 2 a2 

                    Conclusion :        vect(AC).vect(GE) = - 2 a2 

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