Activités sur les complexes

                          Activité sur les nombres complexes:                TS oct 2013

    Activité .

         Le but : Créer une équation du troisième degré puis la résoudre.

     1. Donner un trinôme du second degré Q( z ) à coefficients réels

          dont les racines sont:    1 + 2 i    ;    1 - 2 i

        2. Donner alors une équation du troisième degré P( z ) = 0 à coefficients réels

           dont les racines sont:

                     1 ; 1 + 2 i   ; 1 - 2 i .

       3. Résoudre l'équation  P( z ) = 0  dans l'ensemble des nombres complexes.

       4. Représenter les points A , B , C  d'affixes respectivement     1 ; 1 + 2 i   ; 1 - 2 i .

            Que remarquez-vous ?

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              REPONSE:

            1 . Donnons un polynôme Q( z ) qui réponde à la question.

                        Soit z un nombre complexe quelconque.

                          Posons par exemple:  

                               Q( z ) = ( z - ( 1 + 2 i )  ( z - ( 1 - 2 i ) )

               c-à-d

                         Q( z ) = z 2   - 2 z + 5 = 0

                         Conclusion:    Q( z ) = z 2   - 2 z + 5 = 0   convient.

                                        On peut le multiplier par un réel non nul.

            2. Donnons un polynôme P( z ) qui réponde à la question.

                     Considérons:       P( z ) = ( z - 1 ) Q( z )  où z est dans l'ensemble des

                     nombres complexes. 

                    c-à-d  

                                    P( z ) = z (  z 2   - 2 z + 5  ) - (  z 2   - 2 z + 5 )

                   c-à-d

                                        P( z ) = z3  - 3 z2  + 7 z - 5

                        P( z ) = 0     ssi  z = 1   ou  z = 1 + 2 i     ou   z = 1 - 2  i

                    Conclusion :       P( z ) = z3  - 3 z2  + 7 z - 5    convient.

              3. Résolution de P( z ) = 0   dans l'ensemble des nombres complexes.

                    On fait comme si l'on n'avait pas fait les questions précédentes.

                    On a :             z3  - 3 z2  + 7 z - 5  =  0

                   Comme la somme dex coefficient est nulle on a 1

                  qui est une racine évidente.

                   Ainsi il existe un trinôme du second degré     a z2 + b  z + c 

                   avec a dans IR* ,  b dans IR  et  c dans IR

                   tel que        z3  - 3 z2  + 7 z - 5  =  ( z - 1 ) (  z2 + b  z + c  )  

                  pour tout nombre complexe z.

                 • Cherchons a , b ,c.

                  La méthode la plus courte est la division. 

     z3  - 3 z2  + 7 z - 5                    |   z - 1  
- (  z3  -  z2  ) |    z2    - 2 z   + 5   
   -------------- |
           - 2  z2  + 7 z      - 5 |
          - ( - 2 z2   + 2 z )  | 
             ----------------- |
                            5  z     - 5  |
                       - (  5  z     - 5  ) |
                           ---------------- |
                                            0 |

           Donc      z3  - 3 z2  + 7 z - 5    =  ( z - 1 ) (  z2    - 2 z   + 5  )

            On  a :     a = 1       b = - 2            c = 5

           • Résolvons  à présent    z2    - 2 z   + 5  = 0

                    Δ ' = b' 2 - ac              a = 1       b = - 1      b ' = - 1    c  = 5

                    c-à-d

                    Δ' = ( - 1 )2 - 5 =  = 1 - 5 = - 4             (Remarque :   Δ '  = ( 2 i )2  )

                    Δ ' < 0

                  Les solutions sont:

                  ( - b' - i √|Δ ' |   ) / a  = 1 - 2 i

                  ( - b' + i √|Δ ' |   ) / a  = 1 + 2 i

            Comme    P( z ) = 0    ssi  z - 1 = 0   ou   z2    - 2 z   + 5  = 0

            on a:

         Conclusion :

                        SC  = {  1  ; 1 - 2 i  ; 1 + 2 i }

            4. Représentation.

                   repres-1.png 

           Les parties réelles des affixes des points A , B , C sont   1.

          Donc:

            Les points sont sur une droite verticale d'équation x = 1.

           L'affixe de A est la moyenne des affixes des point AB et C.

           Donc:

        A sur l"axe des réels est le milieu du segment [ AB ].

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