Activité sur les nombres complexes: TS oct 2013
Activité .
Le but : Créer une équation du troisième degré puis la résoudre.
1. Donner un trinôme du second degré Q( z ) à coefficients réels
dont les racines sont: 1 + 2 i ; 1 - 2 i
2. Donner alors une équation du troisième degré P( z ) = 0 à coefficients réels
dont les racines sont:
1 ; 1 + 2 i ; 1 - 2 i .
3. Résoudre l'équation P( z ) = 0 dans l'ensemble des nombres complexes.
4. Représenter les points A , B , C d'affixes respectivement 1 ; 1 + 2 i ; 1 - 2 i .
Que remarquez-vous ?
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REPONSE:
1 . Donnons un polynôme Q( z ) qui réponde à la question.
Soit z un nombre complexe quelconque.
Posons par exemple:
Q( z ) = ( z - ( 1 + 2 i ) ( z - ( 1 - 2 i ) )
c-à-d
Q( z ) = z 2 - 2 z + 5 = 0
Conclusion: Q( z ) = z 2 - 2 z + 5 = 0 convient.
On peut le multiplier par un réel non nul.
2. Donnons un polynôme P( z ) qui réponde à la question.
Considérons: P( z ) = ( z - 1 ) Q( z ) où z est dans l'ensemble des
nombres complexes.
c-à-d
P( z ) = z ( z 2 - 2 z + 5 ) - ( z 2 - 2 z + 5 )
c-à-d
P( z ) = z3 - 3 z2 + 7 z - 5
P( z ) = 0 ssi z = 1 ou z = 1 + 2 i ou z = 1 - 2 i
Conclusion : P( z ) = z3 - 3 z2 + 7 z - 5 convient.
3. Résolution de P( z ) = 0 dans l'ensemble des nombres complexes.
On fait comme si l'on n'avait pas fait les questions précédentes.
On a : z3 - 3 z2 + 7 z - 5 = 0
Comme la somme dex coefficient est nulle on a 1
qui est une racine évidente.
Ainsi il existe un trinôme du second degré a z2 + b z + c
avec a dans IR* , b dans IR et c dans IR
tel que z3 - 3 z2 + 7 z - 5 = ( z - 1 ) ( z2 + b z + c )
pour tout nombre complexe z.
• Cherchons a , b ,c.
La méthode la plus courte est la division.
z3 - 3 z2 + 7 z - 5 | | z - 1 |
- ( z3 - z2 ) | | z2 - 2 z + 5 |
-------------- | | |
- 2 z2 + 7 z - 5 | | |
- ( - 2 z2 + 2 z ) | | |
----------------- | | |
5 z - 5 | | |
- ( 5 z - 5 ) | | |
---------------- | | |
0 | | |
Donc z3 - 3 z2 + 7 z - 5 = ( z - 1 ) ( z2 - 2 z + 5 )
On a : a = 1 b = - 2 c = 5
• Résolvons à présent z2 - 2 z + 5 = 0
Δ ' = b' 2 - ac a = 1 b = - 1 b ' = - 1 c = 5
c-à-d
Δ' = ( - 1 )2 - 5 = = 1 - 5 = - 4 (Remarque : Δ ' = ( 2 i )2 )
Δ ' < 0
Les solutions sont:
( - b' - i √|Δ ' | ) / a = 1 - 2 i
( - b' + i √|Δ ' | ) / a = 1 + 2 i
Comme P( z ) = 0 ssi z - 1 = 0 ou z2 - 2 z + 5 = 0
on a:
Conclusion :
SC = { 1 ; 1 - 2 i ; 1 + 2 i }
4. Représentation.
Les parties réelles des affixes des points A , B , C sont 1.
Donc:
Les points sont sur une droite verticale d'équation x = 1.
L'affixe de A est la moyenne des affixes des point AB et C.
Donc:
A sur l"axe des réels est le milieu du segment [ AB ].
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