INFO. EX 1 DS 3 1S 22 Nov

INFO. DS n° 3         1S1   22 Nov. 08               2 heures


          EX 1.

                    1. a. Trouvons les réels a et b tels que  2 x3  + 3 x2 - 2 x - 3 = ( x2 - 1 ) ( a x + b )

                            pour tout x dans IR.

                          •  On peut utiliser la division. ( aucune difficulté particulière ici . )

                          •  On peut utiliser après développement  une identification des coefficients.

                          •  Autrement  on peut déjà prévoir  que :

                             a = 2 et b = 3 .

                               En effet:

                            •  •     2 x3  + 3 x2 - 2 x - 3  admet deux racines évidentes 1 et - 1

                             car    2 + 3 - 2 - 3 = 0 ( La somme des cofficients est nulle.) et

                              2 - 2 = 3 - 3      ( La somme des coefficient des termes de rang

                             impair est  égale à la somme des coefficients des termes

                             de rang pair. )

                             •  •  2 x3  + 3 x2 - 2 x - 3  est bien factorisable par x- 1 .

                                   Comme  2 x3  + 3 x2 - 2 x - 3 est de degré 3

                                  et x² - 1 de degré 2 ,  il est naturel que l'autre facteur

                                 soit de la forme  a x + b .

                             • •  Pour tout réel x :   

                             • • •      Le terme constant dans le membre de gauche est - 3.                       

                                         et le terme constant dans le membre de droite est  ( -1 ) × b ,

                                          si l'on développait.

                                          Donc - 3 = - b     c-à-d        b = 3 .

                                • • •   Le coefficient du terme en x²  dans le membre de gauche est  2  et 

                                          celui de x²  dans le membre de droite est  ( 1 ) a  , si l'on développait. 

                                           Donc a = 2

                              Conclusion.       a = 2  et  b = 3 .

                      b.Résolution de l'équation   2 x3  + 3 x2 - 2 x - 3 = 0 .

                              Elle s'écrit          ( x² - 1 ) ( 2 x + 3 ) = 0 .

                                        c-à-d        x² - 1 = 0  ou  2 x + 3 = 0 .

                              c-à-d       x = - 1  ou    x = 1  ou     x = - 3 / 2

                           Conclusion:           SIR = {  - 1 ; 1  ;  - 3 / 2 }

                     c. On peut simplifier l'expression de f( x ).

                         Soit x un réel tel que  x ≠ 1  et x ≠ - 1.

                           On a f( x ) = ( 2 x3  + 3 x2 - 2 x - 3  ) / ( x² - 1 )

                            c-à-d    f( x ) = (  ( x² - 1 ) ( 2 x + 3 )  ) / ( x² - 1 )

                            c-à-d   f( x ) = 2 x + 3  

                          Conclusion          f( x ) = 2 x + 3    pour tout réel x 

                                                      tel que  x ≠ 1  et x ≠ - 1.

                                  2 x+ 3 est une expression de fonction  affine.

                          Conclusion    f est représentée par la droite d'équation  y = 2 x + 3

                                                privée des points  d'abscisses 1 et - 1

                                               c-à-d   privée des points  E( 1 ; 5 ) et  H( - 1 ; 1 ) .

               2.  Soit la fonction g ; x → x² - 3 x - 4 .

                  a. Donnons sa forme canonique.

                       g est une fonction trinome du second degré .

                         Soit x dans IR.

                        On a :          g ( x ) = a ( x  + b / ( 2a )  )2  -  Δ / ( 4 a )

                       avec         a = 1    ,   b = - 3      ,   c = - 4

                      et         Δ = b² - 4 a c .

                        Ainsi               Δ = ( - 3 )² -  4 ( 1 ) ( - 4 )

                       c-à-d              Δ = 9 + 16 = 25

                 Conclusion      La forme canonique de g( x ) est 

                                        g( x ) = ( x - 3 / 2 )2 -  25 / 4

             b. Soit a dans IR. Soit h un réel non nul.

               Donnons le taux de variation de g entre a et a + h.

             On a:     ( g( a + h ) - g( a )  ) / h = (  ( a + h ) 2  - 3 ( a + h ) - 4 - ( a² - 3 a - 4 ) ) / h

                         ( g( a + h ) - g( a )  ) / h = (  ( a + h ) 2 -  a2   -  3 h   ) / h

                          ( g( a + h ) - g( a )  ) / h = (  ( a + h + a ) ( a + h - a ) - 3 h  ) / h

                        ( g( a + h ) - g( a )  ) / h = (  ( 2 a + h ) h -  3 h  ) / h

                       ( g( a + h ) - g( a )  ) / h =    2 a + h  - 3

                 Conclusion      Le taux de variation de g entre a et a + h pour h dans IR•  

                                                   est bien    2 a + h  - 3.

                       c. Déduisons le nombre dérivé de g en a .    

                               La limite de    2 a + h -  3   quand h tend vers 0 est le réel   2 a -  3.

                             Donc   la limite  ( g( a + h ) - g( a )  ) / h   quand h tend vers 0 est

                              le réel   2 a -  3.

                      Conclusion        Le  nombre dérivé de g en a est    2 a - 3 .

                                                g ' ( a ) = 2 a - 3   pour tout réel a.  

                                     g ' ( 4 ) = 2 × 4 - 3 = 5

                                    g( 4 ) =  4²  - 3 × 4 - 4 =   0

                        Conclusion            g '( 4 ) = 5 

                                                       g( 4 ) = 0 

                d. Donnons la fonction dérivée de g.

                             Comme g admet 2 a - 3 comme nombre dérivé pour tout réel a

                              g est dérivable dans IR et l'on a :

                                g ' : x →  2 x - 3     sur IR.

                         Conclusion            La fonction  dérivée de g sur IR est

                                                       g ' : x →  2 x - 3  

                        Donnons le signe de g ' ( x ) suivant x dans IR.

                           Comme g' ( x ) = 2 x - 3  pour tout x dans IR on a :

                         Conclusion              g ' ( x ) = 0  ssi x = - 3 / 2

                                                        g'( x ) < 0 ssi  x < - 3 / 2

                                                        g' ( x ) > 0  ssi x > - 3 / 2 

             3. Donnons  l'équation réduite de la tangente à la courbe

                de g au point  B ( 4 ; g ( 4 ) ).

                         Comme  son équation est   y = g' ( 4 ) ( x - 4  ) + g ( 4 )

                            et         g( 4 ) = 0  et g' ( 4 ) = 5

                        il vient                 y = 5  ( x - 4 )

                        c- à d           y = 5 x - 20 .

               Conclusion              y  = 5 x - 20  est l'équation réduite

                                              de la tangente à la courbe de g au point B.

                 4. Complétons le tableau.

x -1 0 1,5 3 4
g( x ) 0 - 4 - 6,25 - 4 0

                   5.  Courbe ( P )

                      On peut . soit utiliser le tableau précédent en remarquant que le point 

                      S ( 3 / 2 ;  - 25 / 4 )  c-à-d    S( 1,5 ; - 6,25 )  est le sommet de la parabole,

                      soit prendre l'image de la parabole de référence, d'équation  y = a x²  avec a = 1 ,

                      par la translation de vecteur  1,5 vect( i ) - 6, 25 vect( j ) .

                      Pour le tracé de la tangente en B( 4 ; 0 ) il suffit de considérer un autre point

                      comme par exemple l'image du point B par la translation de vecteur 

                     vect( i ) + 5 vect( j ).

                   6. a. Donnons la forme factorisée de g( x ).

                           On a constaté que :  g( 4 ) = 0 et g( - 1 ) = 0. ( Voir le tableau )

                           On connait donc les racines  4 et - 1  de g( x ). 

                            Or a = 1.

                     Conclusion                g( x ) =  ( x + 1 ) ( x - 4 )  pour tout réel x.  

                     b.  Résolvons l'équation   2 x3  + 3 x2 - 2 x - 3 = g( x ) dans IR.

                        C' est - à - dire         ( x² - 1 ) ( 2 x + 3 ) = ( x + 1 ) ( x - 4 )

                                  c-à- d           ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( 2 x + 3 ) = ( x + 1 ) ( x - 4 )

                           c-à-d              ( x - 1 )  ( x + 1 ) ( 2 x + 3 ) -  ( x + 1 ) ( x - 4 ) ] = 0

                          c-à-d      par factorisation:

                          ( x + 1 ) [ (x - 1 )  ( 2 x + 3 ) - ( x - 4 ) ] = 0

                          c-à-d          ( x + 1 ) (   2 x²  + 3 x - 2 x - 3 - x + 4 ) = 0

                        c- à- d            ( x + 1 ) ( 2 x² + 1 ) = 0

                         c-à-d   ( x + 1 ) = 0

                      c-à-d    x = - 1

                        Conclusion             SIR   = { - 1 } .