ENSEMBLE DE MANDELBROT

                                       MATHS  EXPERT                                 Février 2022

         THEME :  ENSEMBLE DE MANDELBROT

                    Dans la marine, " La Royale " sur le pont supérieur d'un navire, il y a les officiers de pont,

                    en bel uniforme,  et dans les soutes,  il y a les mécaniciens en blouse qui font fonctionner

                    les machines.

                    C'est un peu la même chose pour l'ensemble de MANDELBROT.

                    Les points de cet ensemble forment de belles arabesques coloréees,  " fractales",

                   très artistiques, mais pour chacun d'eux il y a un ensemble associé de points,

                   que l'on ne représente pas, sous conditions  contraignantes. 

           EXPLICATION:

                  Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O.

             Deux étapes sont considérées pour définir cet ensemble:

             •  À chaque nombre complexe c on associe la suite récurrente suivante:

                   Z0 = 0

                   Zn+1 = ( Zn  + c   pour tout n dans IN

              • Si cette suite associée  ( Zn  )  est bornée sur IN,  alors on accepte le point N( c )  d'affixe c

                comme élément de l'ensemble de MANDELBROT , sinon on le refuse.   

                 En pratique, on regarde si l'on a :   | Z| < 2   pour tout n dans IN.

            REMARQUE :

               Cette définition est  doublement abstraite, puisque la condition de bornage fait que pour qu'un point 

                N ( c ) soit  accepté, il faut que l'ensemble des points M(  Z ) d'une suite de points associée soient

               dans un disque de centre O et de rayon fini.

                 Pour chaque  nombre complexe c,  cet ensemble accessoire de points M( z ), lui, n'est pas représenté

                ni un disque éventuel qui le contient.

                 On dispose de l'informatique pour visualiser en partie cet ensemble des points N( c ) retenus.

                Graphiquement les points N( c )  obtenus sont tels que :

                                     − 2,1 < Re( c ) < 0,6

                             et       −1,2 < Im( c ) < 1,2

               Remarque :

              Regardons,par exemple si le point N ( 0 ) , c-à-d O, est dans l'ensemble de MANDELBROT .

               Considérons la suite associée à 0 :

                                  Z0 = 0

                                   Zn+1 = ( Z)2                  pour tout n dans IN  est bornée

                     Comme 0 = 0 , tous les termes de la suite ( Z n ) vont être nuls .

                       ( On peut le montrer par une récurrence facilement )

                     On a :       Zn = 0  pour tout n dan IN 

                       La suite ( Z n ) est bien bornée car elle est constante.

                      Donc, le point N( 0 ) , c-à-d l'origine O, est dans l'ensemble de MANDELBROT.

                  Cela serait fastidieux, même impossible, refaire cette recherche pour chaque

                  nombre complexe c dans C.

                  Par contre l'ordinateur peut s'en charger  partiellement .

                  Donc, on utilise un algorithme en Python pour cela.

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