INFO EX 2 BAC BLANC 12 fév 2015

                  INFO EX 2 BAC BLANC    12 février 2015

            EXERCICE 2 

Partie A
On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[  par f (x) = x e− x.
1. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.

 REPONSE:

          D’après le cours,         lim  ex  / x   =  + ∞
                                              x + ∞
 Donc  pour l'inverse on a :     lim  x / ex  = 0 
                                                         x + ∞
 Ce qui équivaut à         lim  x e− x  =  0
                                          x + ∞
Donc

         Conclusion :  lim f( x ) = 0

                                         x + ∞
2. Déteminer la dérivée f ' de la fonction f sur [ 0 , +∞ [ et 

       en déduire le tableau de variation de f sur  [0 ; +∞[.

    REPONSE:

      La fonction f est dérivable sur IR comme produit de telles fonctions .

        Donc elle l'est aussi sur [0 ; + ∞[.

        et    ( x ) = 1 × e− x + x (− 1 × e− x ) = e− x − x e− x = (1 − x) e− x
                                                                                pour tout réel x

             On sait que    e− x > 0    pour tout réel x

     Donc   f ' (x) est du signe de 1− x      pour tout réel x.

      De plus :    f (0) = 0     et    f (1) = e−1 ≈ 0,37
     D’où le tableau de variation de la fonction f sur [0 ; +∞[ :

x     0                          1                          +∞   
f ' ( x )             +                  0              
f( x )     0          ↑                e−1                       0

On donne en annexe la courbe Cf représentative de la fonction f dans un repère

 du plan. La droite ∆ d’équation y = x a aussi été tracée.

PARTIE B

          Soit la suite ( un ) définie par u0 = 1  et pour tout entie naturel n , un + 1 = f( un )

     1. Placer sur le graphique donné en annexe , en utilisant la courbe de Cf et la droite Δ,

        les points A0 , A1 ,  et A2   d'ordonnées nulles et d'abscisses respectives u0 , u1 et u2 .

        Laisser les tracés explicatifs apparents.

        REPONSE:

        Wzeerzt45

 

2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , un > 0.

n = 0

      On a:   u0 = 1   et 1  > 0  

          D'où             u0 > 0

   Donc l'inégalité  est vraie au rang 0.
Soit n dans IN quelconque.

  Montrons que si un > 0 alors un + 1 > 0
Pour tout réel x,    e− x > 0

 Donc pour tout réel x > 0,    x e− x > 0

Donc   f (x) > 0  pour tout réel x >0.
Or     un+1 = f (un ) et un > 0           (hypothèse de récurrence) .

 Ainsi  f (un ) > 0  et donc un+1 > 0.
L'inégalité est vraie au rang n +1.

Conclusion: L'inégalité est prouvée sur IN.

3. Montrer que la suite ( un ) est décroissante.

    Pour cela montrons que un + 1 ≤ un pour tout n dans IN.

  c-à-d     montrons que    f( un ≤ un pour tout n dans IN.

Soit  x > 0: 
                on a :         −x < 0 ⇐⇒ e− x < e0
 ( En raison de la stricte croissance de la fonction exponentielle sur IR)

         Ainsi :              −x < 0     ⇐⇒ e− x< 1
        c-à-d                  −x < 0   ⇐⇒ x e− x < x      car x > 0
        c-à-d                  −x < 0   ⇐⇒ f (x) < x
Donc:

  Pour tout x > 0    on a      f (x) < x    .

    Or pour tout n on a vu que  un > 0

      Donc:              f (un) < un

         c-à-d
                          un+1 < un  pour tout n dans IN

             Conclusion: La suite (un) est donc décroissante sur IN.
4. a. Montrer que la suite ( un ) est convergente.

REPONSE:

La suite (un) est décroissante, minorée par 0, donc, d’après une propriété de cours 
 la suite (un) est convergente.
b. On admet que la limite de la suite (un) est solution de l’équation x e− x = x.

        Résoudre une équation pour déterminer la valeur de cette limite.

REPONSE:

         résolvons l’équation x e−x = x     dans [ 0 , + ∞ [
          Soit x ≥ 0         x e− x = x ⇐⇒ x ( e−x   − 1 ) = 0

                c-à-d      x e− x = x   ⇐⇒ x = 0    ou e−x  −1 = 0
                c-à-d      x e− x = x    ⇐⇒ x = 0    ou   e− x = 1= e0

               c-à-d      x e− x = x       ⇐⇒ x = 0    ou   − x = 0

               c-à-d      x e− x = x       ⇐⇒ x = 0      convient
Donc

            Conclusion : La limite de la suite (un) est égale à 0.
PARTIE C
On considère la suite (Sn) définie pour tout entier naturel n par:

Sn = u0 +u1 +... +un
compléter l'algorithme donné en annexe afin de calculer S100 .

REPONSE:

            L’algorithme suivant donne S100 :

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Déclaration des variables :          S et u sont des nombres réels
                                                    k est un nombre entier
Initialisation :                               u prend la valeur    1   
                                                    S prend la valeur   u   
Traitement :                                 Pour k variant de 1 à 100
                                                             u prend la valeur u ×e−u
                                                             S prend la valeur  S + u
Fin Pour
Afficher S

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