ACTIV 1 ORDI MATRICES BTS

 Nom : .............      Prénom: .............. Date: .........          Classe: BTS1A

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  M étant donné une matrice carrée , on pose M1 = M et pour tout entier naturel n non nul , Mn+1 = M ×Mn .

  On considère la matrice D définie par  : 

/     1           0        \
\     0 - 1 / 2     /

 a. Calculer D2  et D3 .

           D2 = ...................

           D3 = .....................

      On admettra que pour tout entier naturel non nul n , on a Dn  qui est la matrice

/    1          0               \
\    0 ( - 1 / 2 )n        /

 b. Etant données les matrices P  et P' respectivement

/  1    1  \
\  1  - 2  /

et

/   2 / 3     1 / 3    \
\   1 / 3  - 1 / 3     /

montrer que P × P'  est la matrice unité I

/   1     0    \
\   0    1    /

              P × P'  = ..............   

Calculer aussi P'  × P.

      c. On considère la matrice A égale à

/    1 / 2     1 /2    \
\   1     0         /

 Montrer que P × D  × P' = A

 

     P × D  × P'  = ................

 

 

     P × D  × P'  = ...................

 

   d. n est un entier naturel non nul.

   Sachant que An  = ( P × D  × P' )×(  P × D  × P' )×.........×( P × D  × P' )  avec n facteur identiques

utiliser le 1. b. pour établir que An  =  P × Dn  × P' .

                An  = ...................

 

 

 

  En déduire les termes de la matrice An  en fonction de ( - 1 / 2 )n .

               P × Dn  × P' = ...................