DS n° 1 Samedi 01 octobre 2011 TS2
EXERCICE 1 3,75 points
Soit les deux nombres complexes:
z = 1 + i
z ' = 2 j avec j = - 1 / 2 + i √ 3 / 2
Donner des formes exponentielles des nombres complexes suivants:
z , z ' , z x z ' , z / z' , 5 .
EXERCICE 2 16,25 points
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct ( O ; vect(u ) , vect( v ) ).
Soit le polynôme Q( z ) = z3 + 2 z2 + 7 z + 30 où z est dans l'ensemble
des nombres complexes.
1. Peut-on trouver trois réels a , b , c tels que :
Q( z ) = ( z + 3 ) ( a z2 + b z + c ) pour tout nombre complexes z ?
Dans l'affirmative trouver ces trois réels.
2. Soit les nombres complexes Z1 = 1 + 3 i et Z2 = 1 - 3 i
a. Trouver la somme S = Z1 + Z 2 et le produit P = Z1 x Z2 .
b. Résoudre l'équation z2 - S z+ P = 0 dans l'ensemble des nombres complexes.
3. Résoudre l'équation Q( z ) = 0 dans l'ensemble des nombres complexes.
4. Trouver les modules de Z1 et Z2.
5. On considère les points A , B , C d'affixes respectivement
Z1 , Z2 , - 3 .
a. Placer les points A , B , C dans les repère orthonormal ( O ; vect(u ) , vect( v ) ).
b. Quelle particularité géométrique possède le triangle ABC ?
( Justifier la réponse )
Prolongement si vous avez le temps: Bonus 3 points
6. Soit le point D d'affixe le réel negatif zD = 1 + 3 √3 .
a.Mettre sous la forme exponentielle le quotient :
( zD - zA ) / ( zB - zA )
b.Quelle est la nature du triangle ABD ?
( Justifier la réponse ).
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