INFO Devoir n° 2 TS1 4 octobre 2013

                     INFO        Devoir n° 2            TS1      pour le   4 octobre 2013

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     EXERCICE 1

            On note ( u_n ) la suite définie sur IN* par:

              1. Prouvez que pour tout n dans IN* ,

                 REPONSE:

              On a :

    c-à-d                      en prenant         ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) n     comme dénominateur commun:                      

                          c-à-d

                      Conclusion : On a bien l'égalité demandée                                  

                                    pour tout n dans IN*

             2. Déduisez- en le sens de variation de la suite ( u_n  ).

                 REPONSE:

                      Pour tout n dans IN*  on a :

                            - 3 n - 2 < 0    et    n ( 2 n + 1 )   ( 2 n + 2 ) > 0

                     Donc pour le quotient on :

                                    ( - 3 n - 2 ) / [ ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) n ] ≤ 0

                  c-à-d   

                          u_{n + 1} - u_n   ≤  0      pour tout n dans IN*

               Conclusion : La suite ( u_n ) est décroissante sur IN*.

             3. Démontrer que la suite (u_n ) est convergente.

                       Soit n dans IN*.

                       Comme u_n  est une somme de quotient positifs 

                       on a   u _n ≥ 0   pour tout n dans IN.

                       Ainsi nous savons que la suite ( u_n ) est minorée par 0 sur IN*.

                       Mais elle est décroissante sur IN*.

                       D'après un résultat de cours elle est donc convergente.

                Conclusion : La suite ( u_n ) est convergente.

                                         VRAI ou FAUX

             On considère une suite ( u_n ) définie sur IN dont aucun terme n'est nul.

             On définit alors la suite ( v_n )  par:

             Pour chaque proposition, indiquez si elle est vraie ou fausse et proposez 

             une démonstration pour la réponse indiquée.

             Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera

             à fournir un contre exemple .

                     1. Si ( u_n ) est convergente, alors ( v_n ) est convergente.

                         REPONSE:  NON.

                               Contre exemple:

                                Soit la suite ( u_n ) de terme général u_n =  1 / ( n + 1 )

                                La suite ( u_n ) converge vers 0.

                                On a :

                                c-à-d     v_n  = - 2 ( n + 1 )

                                 Ainsi:      lim v_n  =   - ∞

                                               n → + ∞

                                  c-à-d     la suite ( v_n ) diverge vers - ∞

                     2. Si ( u_n ) est minorée par 2, alors ( v_n  ) est minorée par - 1.

                               REPONSE: 

                                        OUI.

                                 En effet:

                             Soit n dans IN quelconque.

                             On a :        2  ≤ u_n   

                             Donc            1 / u_n  ≤  1 / 2

                             Ainsi  en multipliant par - 2 il vient :

                                              - 2 / u_n   ≥ - 2 / 2

                               c-à-d      v_n ≥ - 1    pour tout n dans IN

                             Conclusion: La suite ( v_n ) est bien minorée par - 1

                           quand la suite ( u_n ) est minorée par 2 sur IN

                       3. Si ( u_n ) est décroissante, alors ( v_n  ) est croissante.

                          REPONSE:    

                           NON.

                           Contre exemple:

                          Soit u_n = 1 / ( n + 1 )     pour tout n dans IN

                          La suite ( u ) est décroissante sur IN car la fonction rationnelle

                          f : x → 1 / ( x + 1 )   qui est définie et dérivable sur IR - [ - 1 } , 

                          est décroissante sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.

                         En effet sa fonction dérivée est  f ' : x → - 1 / ( x + 1 )²  est

                         négative dans l'intervalle [ 0 , +∞ [.

                        On a :       v_n   = - 2 / u_n  = -  2 ( n + 1) = - 2 n - 2 pour tout n dans IN.

                        Or la suite ( v_n ) de terme général   - 2 n - 2 est décroissante sur IN

                        sachant que la fonction affine  g : x → - 2 x - 2 est décroissante sur IR.

                       Les deux suites dans ce cas sont décroissantes sur IN.

                     Conclusion : L'afffimation est fausse.                    

                     4.  Si ( u_n ) est divergente alors ( v_n ) converge vers 0.

                       REPONSE:

                              NON.

                               Contre exemple:

                            Considérons:    u_n = ( - 1 )ⁿ    pour tout n dans IN

                            La suite ( u_n )  est divergente car elle n'admet pas de limite.

                            On a :    v_n = - 2 / u_n = - 2 / ( - 1 )ⁿ        pour tout n dans IN

                           Mais la suite ( v_n ) est aussi sans limite.

                           Elle prend alternativement les valeurs - 2 ; 2 ; - 2 ; 2     etc

                            Les deux suites dans ce cas sont sans limite donc divergentes.

                           Conclusion : L'affirmation est fausse.

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             EXERCICE 2

                                       La suite ( u_n ) est définie par:

                               u₀ = 1

                                   pour tout n dans IN

                          1. Prouvez que pour tout entier naturel n,  u_n > 0.

                          2. Prouvez que la suite ( u_n ) est décroissante.

                          3. Justifiez la convergence de la suite (u_n ).

                          4. a. Donnez les valeurs exactes des cinq premiers termes

                                  de la suite ( u_n ).

                                  Que pouvez-vous conjecturer concernant l'expression

                                  de u_n en fonction de n ? 

                              b. Démontrez votre conjecture par récurrence.

                          5. Quelle est la limite de la suite  ( u_n ) ?

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              REPONSE:

              1. Montrons par récurrence sur IN que:

                      u_n > 0 pour pour tout n dans IN.

                   • n = 0

                    On a :        u₀   = 1   et   1 > 0             

                   Donc    u_n > 0 est vrai pour n = 0

                   • Soit n dans IN quelconque.

                    Montrons que si   u_n > 0  alors   u_{n + 1} > 0  .

                  Considérons   u_n > 0

                    Alors    u_n  / √( ( u_n )² + 1 )  > 0

                  c-a-d    u_{n + 1} > 0  

                  On a bien l'inégalité à l'ordre n + 1.

                   Conclusion: La suite (u_n ) est à termes strictement positifs sur IN.

              2. Montrons que la suite ( u_n ) est décroissante sur IN.

                 Montrons pour cela que  u_{n + 1} - u_n ≤ 0  pour tout n dans IN.

                  Or    u_n   > 0   et 

                  Donc

             Ainsi: 

                          u_{n + 1} - u_n ≤ 0  pour tout n dans IN.

               Conclusion : 

                           La suite ( u_n ) est bien décroissante sur IN.

            3. Justifions que la suite ( u_n ) converge.

               Elle est décroissante sur IN et elle est minorée par 0

                puisque à termes strictement positifs.

               Conclusion.

                    La suite ( u_n ) converge.

             4. a. Donnons les valeurs exactes de ses cind premiers termes.

                    u ₀  = 1 = 1 / √( 0  + 1)

                    u ₁  = 1 / √( 1  + 1 ) = 1 /√ 2

                     On peut conjecturer que :

                         u_n = 1 / √( n + 1)   pour tout n dans IN

                     Démontrons le par récurrence sur IN.

                     • n = 0

                     On a :       u ₀ = 1

                                   1 / √( n + 1 )  = 1 / √( 0 + 1)  = 1

                    donc l'égalité est vraie pour n = 0

                    • Soit n dans IN quelconque.

                      Montrons que  si    u_{n + 1} = 1/ √( n + 1 )   alors   u_{n + 1} = 1 / √( n + 2)

                        Considérons :

                         On a l'égalité à l'ordre n + 1.

                   Conclusion : La conjecture est prouvée sur IN

                      5. Donnons la limite de la suite ( u_n ).

                             √( n + 1 ) ≥ √n   pour tout n dans IN

                             Or        lim √n = + ∞

                                         n → + ∞

                           Donc   lim   √( n + 1 ) = + ∞

                                    n → + ∞

                             Ainsi       lim 1 / √( n + 1 ) = 0

                                             n → + ∞

                           c-à-d     lim  u_n = 0

                                        n → + ∞

                    Conclusion: La sute ( u_n ) converge vers 0.

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                    EXERCICE 3

                                La suite ( u_n ) est définie sur IN par:

                                    u₀   = 1

                                   u_{n + 1}  = √( 3 u_n )  pour tout n dans IN.

                               A. Etablir que la suite ( u_n ) est bornée par 1 et 3 

                                   et qu'elle est croissante sur IN.

                               B. On admet, pour le moment, que 

                                               lim u_n = 3

                                                n → + ∞

                                       On pose  v_n = 3 - u_n   pour tout n dans IN.

                                     1. Vérifiez que pour tout entier naturel n,

                                    2. Démontrez que pour tout entier naturel n ,

                                    3. Démontrez, par récurrence, que pour tout entier naturel n ,

                                    4. Déduisez-en   lim v_n       puis     lim u_n  .

                                                             n →   + ∞             n → + ∞

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                REPONSE:

               A. 1. Montons que 1 ≤ u_n ≤ 3 pour tout n dans IN par récurrence.

                    • n = 0

                     On a :   u₀ = 1   et  1 ≤ 1 ≤ 3

                      Donc l'encadrement est vrai pour n = 0

                    • Soit n dans IN quelconque.

                      Montrons que si    1 ≤ u_n ≤ 3   alors    1 ≤ u_{n + 1} ≤ 3  .

                   Concsidérons :  

                                  1 ≤ u_n ≤ 3 

                 c-à-d         en multipliant par 3  il vient 

                                    3 ≤ 3 u_n ≤  9

                    Or la fonction racine carrée est croissante sur IR^{+ .}

                Donc       √3 ≤ √(3 u_n ) ≤ √9

                              Mais   1 ≤ √3    et u_{n + 1} = √( 3 u_n )

               D'où                   1 ≤ u_{n + 1} ≤ 3

                    on a obtenu l'encadrement à l'ordre n + 1.

                Conclusion: La suite (u_n ) est bien bornée sur IN par  1 et 3 .

              • Montrons que  u_n ≤ u_{n + 1}  pour tout n dans   IN.

                  On a  comme la suite est à termes positifs:              

               Or       √u_n  ≥ 0    et    √3  + √u_n >0    et    3 - u_n ≥ 0

                          Donc   u_{n + 1} - u_n  ≥ 0   pour tout n dans IN.

                      Conclusion : la suite (u ) est croissante sur IN.

       B.     Soit   v_n = 3 - u_n    pour toutn dans IN.

                 1. Montrons que pour tout entier naturel n :

                    Comme   v_{n + 1}  = 3 - u_{n + 1}   cela revient à établir:

                     Mais

                         3 - u_{n + 1}  =  3 - √( 3 u_n )  = ( √ 3 )²  - √3 × √u_n   = √3  ( √3 - √u_n )

                         En multipliant en haut et en bas par l'expression conjuguée il vient:

                        Le résultat est prouvé pour tout n dans IN.

                  Conclusion : On a bien l'égalité

                 2. Montrons que pour tout n dans IN :

                     Soit n dans IN.

                     On a : 

                         Or     v_n = 3 - u_n        

                     Donc :

                    Or     u_n ≥  1

                   Ainsi    √ u_n   ≥ √1

                   D'où    √ 3  + √u_n  ≥  √3 + 1

                   On en déduit pour les inverses:

                         1 / ( 1 + √3  )  ≥ 1 / ( √3  + √u_n   )

                     La suite ( v_n ) est à termes positif car la suite ( u_n ) est majorée par 3

                     En multipliant par √3 v_n  il vient :

                  c-à-d  

                      pour tout n dans IN

                    Conclusion : L'inégalité est prouvée.

                     3. Montrons par récurrence sur IN que pour tout n dans IN :

                          • n = 0

                               On a:   v₀ = 3 - u₀  = 3 - 1 = 2

                                 Or     2 (  √3 / ( 1 + √3 ) )⁰ = 2 × 1 = 2   

                                On a :   2 ≤ 2

                               Donc l'inégalité est vraie pour n = 0

                           • Soit n dans IN quelconque. 

                             Montrons que si 

                             alors 

                                Considérons:

                  On a bien l'inégalité à l'ordre n + 1

               Conclusion: L'inégalité est vraie sur IN

          4. Déduisons les limites des suites ( v_n ) et ( u_n ).

               On a :

            Or      u_n = 3 - v_n 

       Donc               lim u_n   =  lim ( 3 - v_n ) = 3 - 0 = 3

                             n → + ∞      n  → + ∞  

               Conclusion: 

                    lim v_n = 0              et     lim  u_n = 3

                     n → + ∞                          n → + ∞

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