Suite 3 du cours: Nb Complexes

Suite 3 du cours: Nb Complexes

  SUITE 3   DU COURS SUR LES NOMBRES COMPLEXES          18 Juin 2009             TS

 

         • RESOLUTION D'UNE EQUATION DU SECOND DEGRE  DANS C.

            Soit l'équation du second degré :    a  z² + b z + c = 0

            avec a ,b , c  trois réels  et  a ≠ 0.

            Le discriminant est toujours :              Δ = b² - 4 ac.

            TROIS CAS:

               • • Δ >  0.  L'ensemble solution est :  

                       SC ={ ( - b - √Δ) / ( 2 a ) , (- b + √Δ) / ( 2 a ) }

 

               • • Δ = 0.   L'ensemble solution est

                   :  SC ={ - b / ( 2 a ) }

 

               • • Δ < 0.  L'ensemble solution est : 

                     SC = { ( - b - i √|Δ| ) / ( 2 a ) , (- b + i √|Δ| ) / ( 2 a ) }

 

                Explications

                   Les deux premiers cas sont ceux du programme de première S  

                  Considérons donc le dernier cas. ( C'est le seul qui change.)

                  Soit  Δ < 0.

                  On a vu la forme canonique de   a z² + b z + c quand z était un réel.

                  C'est la même chose quand z est un nombre complexe quelconque.

                    z² + b z + c = a [ ( z + b / ( 2 a ) )² - Δ / ( 4 a²) ]

                   A présent on peut dire :

                      Comme Δ < 0  on a :

                      Δ = - | Δ | = i²  × | Δ | =  i²  × (  √ | Δ | )² = ( i √ | Δ | )²

                     Ainsi  - Δ / ( 4 a²)=   - ( i  √ | Δ | )²  / ( 2a ) ² = - ( (  i  √ | Δ | )   / ( 2 a ) ) ²

                     z² + b z + c = a [ ( z + b / ( 2 a ) )² - ( ( i  √ | Δ | )   / ( 2 a ) ) ²]                                           

                      Il apparaît une différence de deux carrés.

  z² + b z + c = a [ ( z + b / ( 2 a ) ) + ( i  √| Δ | ) / ( 2 a )] [( z + b / ( 2 a ) ) - ( i  √ | Δ | ) / ( 2 a )]

  z² + b z + c = a [ z + b / ( 2 a )  + ( i  √ | Δ | )  / ( 2 a )] [ z + b / ( 2 a )  - ( i  √ | Δ | )   / ( 2 a )]

          L'un des facteurs s'annule pour :

         z = - [ b / ( 2 a )  + ( i  √ | Δ | )  / ( 2 a )] = ( - b - i √ | Δ |  ) / ( 2 a )

         L'autre facteur s'annule pour :

          z = - [ b / ( 2 a )  - ( i  √ | Δ | )   / ( 2 a ) ]= ( - b  + i  √ | Δ | )  / ( 2 a )

           •  Exemple:

                  Résoudre dans C l'équation z² + z + 1 = 0

           Réponse :

                   Δ = 1² - 4 = - 3    

                   Δ < 0

                 Les racine dans C  sont: 

                  z = ( - 1  - i √| - 3 | ) / 2  = ( - 1  - i √ 3 ) / 2 

         et

                z' =   ( - 1  + i √| - 3 | ) / 2  = ( - 1  + i √ 3 ) / 2

                Conclusion:    SC = { ( - 1  - i √ 3 ) / 2  ; ( - 1  + i √ 3 ) / 2 }

                    c-à-d       SC = { j ;     }

       -----------------------------------------------------------------