INFO DS n°2 Nb Compl 22/10/10

                    INFO     DS n° 2          Nombres Complexes                        TS2     1 h         

       EXERCICE 1

                    Le plan est muni d'un repère orthonormal direct .

                    Soit  z un nombre complexe distinct de 1. 

                    Soit le nombre complexe Z tel que :

                                                   

               1. Soit   z = x + i y  la forme algébrique de z.

                   a.  Quelle condition doit-on imposer à x et y pour que Z existe?

                         Comme  z ≠ 1   on a  ( x , y  )  ≠ ( 1 ; 0 )

                         La condition à imposer à x et y pour que Z existe est :

                           Conclusion :   x ≠ 1  ou  y ≠ 0

                   b.  Montrer que :  Re( Z ) = ( - x² - y² + 2 - x ) / (  ( 1 - x )² + y² )

                          et             Im( Z ) = - 3 y  / ( ( 1 - x )² + y² )

                        Soit   ( x , y  )  ≠ ( 1 ; 0 ).

                        On a :

                                    

                        Le conjugué du dénominateur est 1 - z .

                          Donc

                                         

                         c-à-d 

                                        

                          Mais

                              

                                   | z |² = x² + y²      

                             et   

                                          

                          Donc         

                                      Z =[ 2 + x - i y - 2( x + i y ) - ( x² + y² ) ] / (  (1 - x )² + y²  )

                            c-à-d  

                                        Z =[ ( 2 + x  - 2 x -  x²  - y² )  + i ( - y - 2 y ) ] / (  (1 - x )² + y²  )

                           c-à-d

                                     Z =[ ( 2 - x -  x²  - y² )  + i ( - 3 y ) ] / (  (1 - x )² + y²  ) 

                         Conclusion:      Avec  (  x , y ) ≠  ( 1 ; 0 )

                                     Re( Z ) = ( - x² - y² + 2 - x ) / (  ( 1 - x )² + y² )

                                        et     Im( Z ) = - 3 y  / ( ( 1 - x )² + y² )

                   c. Montrer que l'ensemble des points M( z ) du plan tels que Z soit un réel est

                      une droite D privée d'un point.

                          On a :

                          Im ( Z ) = 0  ssi   - 3 y  / ( ( 1 - x )² + y² ) = 0

                         c-à-d     Im( Z ) = 0  ssi    - 3 y = 0  et ( x , y  )  ≠ ( 1 ; 0 )

                         c-à-d       Im( Z ) = 0  ssi     y = 0  et  x  ≠  1

                          Conclusion:

                        L'ensemble cherché est donc la droite d'équation y = 0 privée du point A( 1 ; 0 ).

                  d. Montrer que l'ensemble des points M( z ) du plan tels que Z soit un

                       imaginaire pur ( au sens large ) est un cercle ( C ) privé d'un point .

                     Re( Z ) = 0  ssi    ( - x² - y² + 2 - x ) / (  ( 1 - x )² + y² ) = 0 

        c-à-d     Re( Z ) = 0  ssi     - x² - y² + 2 - x  = 0  et   ( x , y  )  ≠ ( 1 ; 0 )

        c-à-d    Re( Z ) = 0  ssi      x² + x  + y²  - 2   = 0  et   ( x , y  )  ≠ ( 1 ; 0 )

        c-à-d     Re( Z ) = 0 ssi   ( x + ( 1 / 2 ) )² - 1 / 4 + y² - 2 = 0  et   ( x , y  )  ≠ ( 1 ; 0 )

        c-à-d       Re( Z ) = 0 ssi    ( x - ( - 1 / 2 ) )²  + y²  - 9 / 4 =0  et   ( x , y  )  ≠ ( 1 ; 0 )

         c-à-d       Re( Z ) = 0 ssi    ( x - ( - 1 / 2 ) )²  + y²  - ( 3 / 2 )²  = 0  et   ( x , y  )  ≠ ( 1 ; 0 )

                     Ainsi :

              Conclusion :

        L'ensemble cherché est le cercle de centre Ω ( - 1 / 2 ; 0 ) de rayon 3 / 2  privé du point A( 1 ; 0 ).

                  e. Représenter les deux ensembles de points demandés.

                      Figure :

                                                              

                                                               

              EXERCICE 2

                  1.  Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation:

                       z3  +  z2 + z + 1 = 0         (  1 )

                      ( On cherchera d'abord une racine évidente. )

                      Donner la forme algébrique et la forme exponentielle des solutions.

                        - 1 est une racine évidente car   1 + 1 = 1 + 1.

                         La somme des cœfficients de rangs pairs est égale à

                         la somme des cœfficients des terme de rans impairs.

                        Ansi       z3  +  z2 + z + 1  est factorisable par  z + 1.

                        Division:                       

 z3  +  z2 + z + 1 |z + 1
- (  z3  +  z2 ) |  z²  + 1
------------------ |
                        z + 1 |
                     - ( z + 1 ) |
                               0 |

                      Donc     z3  +  z2 + z + 1  = ( z + 1) ( z² + 1 )

                      On a :    z3  +  z2 + z + 1  = 0  ssi   z = - 1   ou z² + 1 = 0

                  Considérons    z² + 1 = 0    c-à-d    z² = - 1    c-à-d    z = i  ou  z = - i

                     Conclusion:  S = { - 1 ; i ; - i  }   

                      - 1 = ei π     

                        i = ei π / 2

                      - i = e- i π / 2

                2. a. Justifier que pour tout nombre complexe z distinct de 1 on a :

                           1 + z +  z2  + z3    = ( 1 - z4 ) / ( 1 - z )

                 On reconnait le quatre premiers termes d'une suite géométrique

                  de raison z  distinct de 1 et de premier terme 1.

                    Donc:

                  Conclusion :   1 + z +  z2  + z3    = ( 1 - z4 ) / ( 1 - z )     avec z différent de 1

                     b. En déduire une nouvelle résolution de  l'équation ( 1 )

                       1 + z +  z2  + z3     n'admet pas 1 comme racine.

                     Soit z distinct de  1 .

                    On a donc     1 + z +  z2  + z3    = 0  qui s'écrit  ( 1 - z4 ) / ( 1 - z ) = 0

                    c-à-d        1 - z4  = 0   avec z ≠ 1

                   c-à-d    ( 1 - z² )  ( 1  + z²  )   = 0    avec z ≠ 1

                  c-à-d           z = 1    ou     z =  - 1   z = i  ou  z = - i   avec z ≠ 1

                c-à-d    z = - 1  ou  z = i   ou z = - i

                   On retrouve la même conclusion :

                                Conclusion:  S = { - 1 ; i ; - i  }   

             EXERCICE 3

                      Résoudre dans IR l'équation:  cos x + sin x =  1    ( 1 )

                 On a:           1 cos x + 1 sin x = 1

                              Soit   r  =√( 1² + 1² ) = √2

                              Considérons :   cos θ    = 1 /  √2

                                                       sin  θ   = 1 / √2

                                    θ =  π  / 4    convient   

                          Donc     1 =  √2  cos  ( π  / 4)    et    1 =  √2  cos(  π  /4 )

                         donc ( 1 ) devient :     √2  cos  ( π  / 4)  cos x  + √2  cos(  π  /4 ) sin x = 1

                            c-à-d         cos  ( π  / 4)  cos x  +  cos(  π  /4 ) sin x = 1/ √2

                          c-à-d     cos( x -  π  / 4   )   = cos ( π  / 4 )

                         c-à-d       x -  π  / 4   = π  / 4      ( 2 π  )   ou         x -  π  / 4   =  - π  / 4      ( 2 π  ) 

                         c-à-d   x = 2  π  / 4     ( 2 π  )      ou     x = 0  ( 2 π  ) 

                          c-à-d   x =   π  / 2     ( 2 π  )      ou     x = 0  ( 2 π  )

                      Conclusion : S = { π  / 2    +  2 k π / k dans Z }  U {    2 k π  /  k dans Z  }