INFO DEBUT EX 2 BAC S 22 JUIN 2010
EXERCICE 2
QUESTION 1.
ROC.
Montrons le résultat suivant :
Si deux suites ( u ) et ( v ) sont adjacentes alors elles convergent
et ont la même limite .
Pour cela considérons les suites ( u ) et ( v ) adjacentes telles que :
¤ La suite ( u ) est croissante sur IN .
¤ La suite ( v ) décroissante sur IN .
¤ lim ( vn - un ) = 0
n→ + ∞
• D'après la propriété 1. on a : un ≤ vn pour tout n dans IN.
Comme la suite ( v ) est décroissante on a: vn ≤ v0 pour tout n dans IN..
Donc : un ≤ v0 pour tout n dans IN..
La suite ( u ) est donc majorée par v0 sur IN.
Or la suite ( u ) est croissante sur IN.
D'après la propriété 2. on peut dire :
Conclusion: La suite ( u ) converge vers un réel L.
• D'après la propriété 1. on a : un ≤ vn pour tout n dans IN.
Comme la suite ( u ) est croissante on a : u0 ≤ un pour tout n dans IN..
Donc: u0 ≤ vn pour tout n dans IN.
La suite ( v ) est donc minorée par u0 sur IN.
Or la suite ( v ) est décroissante sur IN. D'après la propriété 2. on peut dire:
Conclusion : La suite ( v ) converge vers un réel L' . • On a : lim ( vn - un ) = L' - L
n→ + ∞ Or lim ( vn - un ) = 0 par hypothèse. n→ + ∞ Donc : L' - L = 0 c-à-d L = L' Conclusion : Les suites adjacentes ( u ) et ( v ) convergent et ont bien la même limite. ---------------------------