INFO EX2 1 ROC BAC S JUIN 10

                                       INFO  DEBUT    EX 2              BAC S                       22 JUIN 2010

           EXERCICE 2          

             QUESTION 1.

                           ROC.

                       Montrons le résultat suivant :

             Si  deux suites ( u )  et  ( v )  sont adjacentes alors elles convergent

                  et ont la même limite  .             

                        Pour cela considérons les suites ( u )  et ( v ) adjacentes telles que :

                   ¤    La suite ( u ) est  croissante sur IN .

                   ¤    La suite ( v ) décroissante sur IN .

                   ¤    lim ( vn  - un ) = 0

                          n→ + ∞     

                       D'après la propriété 1. on a :                             un   ≤  vn     pour tout n dans IN.

                         Comme  la suite ( v ) est décroissante on a:         vn   ≤   v0     pour tout n dans IN..

                          Donc :                                                                                un    ≤   v0     pour tout n dans IN..

                          La suite ( u ) est donc majorée par  v0    sur IN.

                          Or la suite ( u ) est croissante sur IN.

                               D'après la propriété 2. on peut dire :    

                             Conclusion:   La suite ( u ) converge  vers un réel L.

                      D'après la propriété 1. on a :                             un   ≤  vn     pour tout n dans IN.

                        Comme  la suite ( u ) est croissante on a :                  u0  ≤   un     pour tout n dans IN..

                            Donc:                                                                         u0    ≤   vn     pour tout n dans IN.

                                    La suite ( v ) est donc minorée   par  u0     sur IN.

                                 Or la suite ( v ) est décroissante sur IN.

                              D'après la propriété 2. on peut dire:

                                 Conclusion :   La suite ( v ) converge vers un réel L' .

                    On a :        lim ( vn - un  )   = L' -  L

 

                                               n→ + ∞           

                             Or            lim ( vn - un  )   =  0         par hypothèse.

                                             n→ + ∞             

                          Donc :                     L' - L = 0

                           c-à-d                    L = L'

       Conclusion  :   Les suites adjacentes ( u )  et ( v ) convergent et ont bien la même limite.

---------------------------