COMPLÉMENTS SUR LES DÉNOMBREMENTS

                                                                 TS NOUVEAU PROGRAMME Sept.  2020 

                                             Thème:        NOMBRES  MULTINOMIAUX

            • Permutation avec répétition ou rangement avec répétitions.

               • • On connait la notion de permutation des n éléments d'un ensemble.

                     ( avec n entier naturel non nul )

                     C'est un rangement de ses n éléments.

                       Il y en a    n ! 

                    Exemple : Soit une urne contenant 10 boules distinctes et discernables.

                                     Il y a   10 !  façons de les aligner sur la table c'est-à-dire de les ranger.

                   • • Mais il peut arriver que les n boules de l'urne soient bien distinctes mais pas

                       forcément  toutes discernables .

                        Exemple : Parmi les n boules de l'urne il y a 2 boules bleues 3 boules

                                          rouges et les n − 2 − 3  autres boules vertes.

                                         Les n boules sont bien toutes distinctes.

                                         Mais on ne peut pas distinguer les boules d'une même couleur.

          (  C'est pourquoi on parle parfois d'un assortiment de boules au lieu d'ensemble de boules )

                          Quand on veut les ranger sur la table, l'ordre des boules d'une même 

                          couleur n'a pas d'importance.

                         Il ne faut donc pas tenir compte des  2 ! permutations des 2 boules bleues ,

                          ni des 3 ! permutations des 3 boules rouges , ni des ( n − 2 − 3 ) ! 

                          des n − 2 − 3  boules vertes .

                          Intuitivement le nombres de rangements possibles est donc:

                     C'est un  NOMBRE MULTINOMIAL.

                     • •   On peut, par analogie, c-à-d par un raisonnement semblable, formaliser la situation:

            Un tel  rangement est une permutation de l'ensemble ( ou de l'assortiment ) des n boules

             de l'urne formé de p groupes comprenant respectivement  n₁ , n₂ ,...... n_p   ,

            boules identiques  avec n₁ + n₂ + .......+  n_p    = n   .

              Il y en a  intuitivement :

                                         Formule du multinôme 

                                       n dans IN*  et p dans IN*.

            • • Justifions  la formule donnant le nombre multinomial:

                 Pour cela, on peut transformer le problème en disant qu'il y a n boules incolores

                que l'on met dans p boites S₁, S₂, ......, S_p  avec respectivement,  n₁ boules obligatoirement 

                dans S₁,  n₂ boules obligatoirement dans S₂, etc........, n_p boules obligatoirement que l'on

                met dans S_p .

               Dans chacune des p boites, l'ordre ne compte pas, mais leur nombre y est imposé. 

              Ainsi:             

           En multipliant ces nombres de combibaisons il vient :

                     Rappel:    0 ! = 1

                     On a bien démontré la Formule du Multinôme.

                       Remarque : On pouvait dire aussi raisonner au niveau des n places à réserver

                                            dans la n liste.

                          En disant que parmi les n places de la n-liste, c-à-d du n- uplet

                          il fallait en réserver n₁ pour y mettre les n₁ boules du premier groupe,  puis

                         parmi les n− n₁ places restantes réserver n₂ places pour y mettre les n₂  boules du

                        second groupe,.... ainsi de suite , enfin réserver n_p places parmi les n − n₁− n₂ −...... − n_{p− 1}  

                        (  c-à-d  n_p  ) places restantes pour y mettre les n_p boules du  p ième groupe. 

                       Le produit obtenu est identique. On obtient bien cette formule.

 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

      EXERCICE 1:

           On dispose de 9 lettres , 2R , 3V et 4B.   

           Combien de mots de 9 lettres peut-on créer en utilisant chacune de ces 9 lettres,

           comme pa exemple :   RRVVBBBB

 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

          REPONSE:

            On obtient pour chaque mot, une permutation avec répétition ( ou rangement ) des 9

            lettres , comprenant 3 groupes , l'un de 2  lettres rouges R ,  un autre de 3  lettres

            vertes V et un autre de 4  lettres bleues B.

                2 + 3 + 4 = 9

            Donc, il y en a:

              rangements possibles.

          Conclusion: 

        1260   mots différents sont possibles, sans s'occuper d'une signification éventuelle.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

          EXERCICE 2:

           Dans une urne on a,  2 jetons rouges identiques, 3 jetons verts identiques et

          4 jetons bleus identiques.

         On tire successivement , sans remise, tous les jetons de l'urne en notant les

         jetons tirés dans l'ordre.

         Combien y a-t-il de tirages possibles ?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

            REPONSE:

          Chaque tirage correspond à une permutation des n = 9 jetons dont n₁ = 2 sont rouges identiques ,

         n ₂=  3 sont verts identiques , et n₃= 4 sont bleus identiques.

              n₁ + n₂ + n₃ = n 

       ( C'est  la connaissance de  n₁ , n_{2 ,} n₃   qui permet de dénombrer )

           Le nombre de ces permitations est donc :

            Conclusion:

           On obtient 1260 tirages possibles.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

                 EXERCICE 3:

             On dispose d'un meuble avec 3 tiroirs, T1 ,  T2 , T3 . 

             On a 12 paires de chaussettes à ranger.

             On décide arbitrairement de mettre 3 paires dans le tiroir T1,

              4 paires dans le tiroir  T2 , 5 paires dans le tiroir  T3.

                     3 + 4 + 5 = 12

                Combien de possibilités a-t-on dans ces conditions ?

------------------------------------------------------------------------------------------------------   

     REPONSE:

          NB: On ne demande pas le nombre de rangements possible de 12 paires dans 

                    3 tiroirs. C'est uniquement avec un nombre imposé de paires dans chaque

                    tiroir.

          Chaque rangement de ce type est une permutation avec répétition des 

          12 paires dans 3 groupes , l'un de  3 paires dans T1 , l'autre de  4 paires dans T2 ,

           et un autre de 5 paires dans T3 .   

                    3 + 4 + 5 = 12

                  Il y en  a :

       Conclusion: 

              Il y a, dans les conditions précises qu'on a  imposées,  27720  possibilités.

--------------------------------------------------------------------------------------------------

            EXERCICE 4:

            Soit le mot FOOTBALL.

            Combien d'anagrammes, ayant une signification ou non, peut-on former avec ce mot ?

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

          REPONSE:

       NB: On doit réutiliser seulement toutes les lettres du mot autant de fois qu'elles y apparaissent.

          Ce mot FOOTBALL est un assortiment de n = 8 lettrres dont , 1 A  ,1 B , 1 F , 2 L , 2 O  et 1 T.

                  1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 = 8

                 Il y a donc,  p = 6 groupes de lettres.

                   On peut ainsi dire :

                  Chaque anagramme, avec ou non un sens, de ce mot constitue une permutation

                  avec répétition ( ou rangement ) des n= 8 lettres du mot FOOTBALL , formé de p = 6 groupes,

                 l'un de n₁ = 1 lettre A , l'un de n₂ = 1 lettre B , l'un de n₃ = 1 lettre F, l'un de n₄ = 2  lettres L,

                 l'un de n₅ = 2  lettres O et l'un de n₆ = 1 lettre T.

                       n₁ + n₂ + n₃ + n₄  + n₅ + n₆ = n

                   Donc, il y en a :

               Conclusion:

               Il y a 10080 anagrammes ayant un sens ou non, possibles.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

         EXERCICE 5:

                     ( Révision sur les récurrences )

          Montrer par récurrence sur IN* que :

           Pour tout entier naturel non nul n on a:

             1. 1! + 2. 2! + .............. + n. n! = ( n + 1 ) ! − 1

            ( Le point . désigne la croix de la multiplication ×  )

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

      REPONSE:

         Faisons une récurrence sur IN*.

            • n= 1 

                 On a :    1. 1!  =  1  

                 et     ( 1 + 1 ) ! − 1 = 2 − 1 = 1  

               Donc on a bien :     1. 1!  =  ( 1 + 1 ) ! − 1

                      La formule est vraie pour n  = 1.

                • Soit n dans IN* quelconque.

                Montrons que si   1. 1! + 2. 2! + .............. + n. n! = ( n + 1 ) ! − 1

               alors   1. 1! + 2. 2! + .............. + ( n + 1 ). ( n + 1 )! = ( ( n + 1 ) + 1 ) ! − 1

                On a: :  1. 1! + 2. 2! + .............. + ( n + 1 ). ( n + 1 )! = 1. 1! + 2. 2! + .............. + n. n! + ( n + 1 ). ( n + 1 )!

                Or:    :  1. 1! + 2. 2! + .............. + n. n! = ( n + 1 ) ! − 1

              Donc:    1. 1! + 2. 2! + .............. + ( n + 1 ). ( n + 1 )! = ( n + 1 ) ! − 1  + ( n + 1 ). ( n + 1 )!

              c-à-d       en factorisant  ( n + 1 )!   dans deux termes:

                    1. 1! + 2. 2! + .............. + ( n + 1 ). ( n + 1 )! = ( n + 1 )! [ 1 + (n + 1 ) ] − 1

                 c-à-d     1. 1! + 2. 2! + .............. + ( n + 1 ). ( n + 1 )! =   ( n + 1 )! ( ( n + 1 ) + 1 ) − 1

                    c-à-d     1. 1! + 2. 2! + .............. + ( n + 1 ). ( n + 1 )! =  ( ( n + 1 ) + 1 ) ! − 1

                         On a obtenu l'égalité à l'ordre n + 1.

             Conclusion : La formule  est prouvé sur IN*.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  EXERCICE 6:

                Soit n un entier naturel .

    1.  Comparer l'ensemble de tous nombres binômiaux

            où p est n'importe quel entier tel que   0 ≤ p ≤ n

        avec l'ensemble de tous les entiers 

             où n₁ et n₂ sont n'importe quels entiers tels que 

              0 ≤ n₁ ≤ n  et   0 ≤ n₂ ≤ n  et  n₁ + n₂  = n

----------------------------------------------------------------------------------------------------

     REPONSE:

          C'est deux ensembles finis d'entiers naturels sont identiques

           car ils sont inclus l'un dans l'autre.

            En effet :

      •  On a : 

         Posons  n₁ =  p     et      n₂ = n − p 

            Alors :

             et   n₁ + n₂  = n

          De plus quand p décrit tous les entiers  de  0  à  n  successivement 

          n₁  décrit bien  tous les entiers de   0 à n 

          pendant que  n₂  décrit  tous les entiers de  n à 0.

          Donc, le premier ensemble est bien inclus dans le second.

       • Réciproquement.

             On a :          

             où n₁ et n₂ sont n'importe quels entiers tels que 

              0 ≤ n₁ ≤ n  et   0 ≤ n₂ ≤ n  et  n₁ + n₂  = n

             Donc     n₂  = n −  n₁ 

           Ainsi: 

            Posons   n₁  = p

              Il vient:

                Avec quand n₁  décrit tous les entiers  de  0  à  n  successivement, 

                 donc  p  qui décrit bien tous les entiers  de  0  à  n  successivement, 

               Le second ensemble est bien  inclus dans le premier.

               Ainsi les deux inclusion montrent :

               Conclusion: Les deux ensembles sont identiques.

        2. La formule du binôme peut être réécrite

                 car les deux ensembles précédents sont les mêmes.

                        Soit a et b deux nombres réels.

                        Soit n un entier naturel non nul

                   Quand on a :

                    on peut proposer la nouvelle écriture :

      Conclusion:

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------