INFO 1 EX BAC 2008 LIBAN Série S

                  INFO    EXERCICE DE BAC  S    sur les suites.     TS     sept 2012

     Partie A

            Démontrer le th. suivant : << Une suite croissante non majorée tend vers +∞ >>.

           Réponse:

     Soit la suite ( un ) définie sur [[ n0 , + ∞ [ , où n0 est un entier naturel.

     On suppose que:

       • Pour tout n dans  [[ n0 , + ∞ [ ,  un  ≤ un + 1   .                        ( Suite croissante )

       • Pour tout réel A il existe un entier n' ≥ n0   tel que  A < un'       (   Suite non majorée )

              Ainsi pour tout entier  n ≥ n ' 

                          On a        A < un'  ≤ un  

                  Donc    

                Pour tout réel A il existe un entier n' ≥ n0   tel que

                pour tout entier n  ≥ n' on ait   un > A .

               Cela veut dire:  

                << Pour tout réel A, tous les termes de la suite sont ,

                    à partir d'un certain rang, supérieurs à A >>          

                     On dit :                 lim un  = + ∞ 

                                                   n → + ∞ 

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         Partie B         

           On considère la fonction f définie sur l'intervalle [ 0 ,  + ∞ [ par:

                                       f ( x ) = ln( x + 1 ) + ( 1 / 2 ) x2

           La courbe ( C ) représentative de f dans un repère orthogonal

           obtenue à l'aide d'un tableur est donnée ci-dessous.

           Cette courbe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.

                courbe1-de-f-bac-liban.gif

           1. Etudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle  [ 0 ,  + ∞ [

                     Réponse:

              •Première méthode. ( ici peu recommandée pour la suite de l'exercice)

                       f est la composée de deux fonctions croissantes.

                            La fonction affine u : x → x + 1 définie, croissante et 

                                strictement positive sur [ 0 , + ∞ [ .

                           La fonction ln qui est définie et croissante sur ] 0 , + ∞[.

                       f = ln o u

                  Conclusion : f est croissante sur [ 0 , + ∞ [.

              •Seconde méthode: ( plus adaptée car elle prépare la suite de l'exercice )

                   Résultat à venir dans le programme de TS :

                 << Soit u une fonction définie , dérivable et strictement positive

                      dans l'intervalle I.  Alors la fonction composée ln o u est définie et

                      dérivable dans I et l'on a  f '  = u ' / u  >>

              Ici la fonction u est   u : x  → x + 1 

            Sur l'intervalle  [ 0 ,  + ∞ [   la fonction u est définie , dérivable

            et strictement positive.

             Or    f = ln o u

           On en déduit que la fonction f est définie et dérivable dans  [ 0 ,  + ∞ [ .

              Ici   u ' : x → 1

             Donc

                            fonction-derivee.gif

           Or     1 / ( x + 1 ) > 0   pour tout x dans [ 0 , + ∞ [.

               Ainsi   f ' > 0    sur  [ 0 , + ∞ [

        Conclusion :   la fonction f est croissante sur [ 0 , + ∞ [

      2.Déterminer une équation de la tangente ( T ) à la courbe de ( C )

           au point d'abscisse 0.

           f ' ( 0 ) = 1 / 1 = 1

            f ( 0 ) = ln( 1 ) =  0

        L'égalité   y = f '( 0 ) ( x - 0 ) + f( 0 )

             devient    y = x 

           Conclusion :  T : y = x    

      3. Tracer la droite ( T ) sur le graphique . Dans la suite  de l'exercice,

          on admet que, sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [ , la courbe ( C ) est située au dessus

          de la droite ( T ).

                   Réponse:   Représentation de la tangente ( T ) sur le graphique donné:

            courbe-de-f-bac-liban.gif