INFO EX III PROBA 1S

                                          INFO EX III          PROBA          Commencé le samedi 5 juin 2010

          

            EXERCICE III

                               

                  1. Faisons un arbre. Pondérons le  à l'aide des probabilités.

                          •    On peut penser d'abord à considérer:

                            

                               Cela n'est pas judicieux.

                       •    Vue la question posée on peut considérer un arbre réduit qui met

                             en évidence les événements qui nous intéressent.

                                    

                             Cet arbre permet même de trouver de tête le résultat demandé.

                            Cela ne dispense pas d'une justification rigoureuse.           

                  2. Trouvons la probabilité d'avoir une boule noire.

                       Soit N l'événement " Obtenir une boule noire ".

                       Il y a dans l'arbre deux chemins qui réalise cet événement.

                        La probabilité P( N ) sera la somme des probabilités de ces deux chemins.

  ATTENTION:  ON ATTEND UNE REDACTION PRECISE QUI PEUT COMPORTER PLUSIEURS PAGES.

                    •   Il y a la première expérience consistant à faire la tourner la roue.

                        L'univers des possibles est :  Ω = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;  5 }.

                         On a :  Card ( Ω ) = 5

                        La roue est bien équilibrée à priori.

                        On est dans une situation d'équiprobabilité.( La loi de probabilité sur  Ω

                            est  la loi équirépartie. )

                    On considère les événements  disjoints  A = { 1 ; 2 }  ,  B = { 3 ; 4 ; 5 }.

                    P( A )  = card( A ) / card ( Ω )

                     Comme Card( A ) = 2

                                   P( A ) = 2 / 5

                   L'événement B est  le contraire de A.

                    Ainsi :         P( B ) = 1 - P( A )

                     Donc        P( B ) = 1 -  2 / 5   = 3 / 5    

                    c-à-d     P( B  ) = 3 / 5

           •    Il y a l'expérience consistant à tirer une boule de l'urne  U1  .

                    L'univers des possibles est l'ensemble des boules de l'urne U1  .

                     Notons le U1  .

                     On a : Card( U1 ) = 10

                   On est dans une situation d'équiprobabilité.

                   Notons N / A    l'événement " Tirer une boule noire de l'urne U1  ".

                   On a :       P( N / A ) = ( nombre de boules noires dans  U1  )  /  Card( U1 ) .

                  c-à-d           P( N / A ) =   3 / 10.                   ( probabilité de N sachant A  )

              •     Il y a l'expérience consistant à tirer une boule de l'urne  U2 .

                      L'univers des possibles est l'ensemble des boules de l'urne U2  .

                     Notons le U2  .   

                    Card(  U2 )  = 10

                   On est dans une siyuation d'équiprobabilité.

                   Notons N / B    l'événement " Tirer une boule noire de l'urne U2  ".

                   On a :       P( N / B ) = ( nombre de boules noires dans  U2  )  /  Card( U2 ) .

                  c-à-d           P( N / B ) =   5 / 10.                      ( probabilité de N sachant B  )

 

     •     Traduisons l'événement N.                  On a :     N = ( A   ∩ N    )  U (  B  ∩ N  )

                  A   ∩ N     ,     B  ∩ N   correspondent à deux chemins de l'arbre qui réalisent chacun N.

                  Ce sont donc des événements incompatibles.

                   Donc   P(   ( A   ∩ N    )  U (  B  ∩ N  )   )  = P ( A   ∩ N    )  + P (  B  ∩ N  )

                  c-à-d             P( N  ) =  P ( A   ∩ N    )  +  P (  B  ∩ N  )

                    Ainsi   P( N ) est la somme des probabilités de deux chemins.

 

 •    Trouvons P( N ).

                 On admet que " la probabilité d'un chemin est le produit  des probabilités rencontrées sur le chemin."

                 Donc :         P ( A   ∩ N  ) = P( A )  ×  P( N / A )     =  ( 2 / 5 )  × ( 3 / 10 ) = 6 / 50

                                     P ( B  ∩ N   ) =  P( B )  ×  P( N / B )   =  ( 3 / 5 )  × ( 5 / 10 ) = 15 /50

                 On en déduit:  

                                         P( N ) = ( 6 /  50 ) + ( 15  / 50 ) =  21 / 50 = 42 %

               Conclusion :  P( N ) =  42 %