INFO EX2 DV TS spé maths

V spé maths sept 2016

      INFO  EX2 DV          Spé maths                      sept 2016

      EXERCICE 2

            On considère les deux suites ( an  ) et  (  bn )  définies par:

                     a0 = 1     b0 = 0         

                     an + 1  =  14 an − 15 bn + 3              pour tout n dans IN

                     bn + 1 = 10 an  − 11 bn      

                 On note pour tout n dans IN :  

                                Matrice11

            1. Montrer que pour tout n dans IN , on peut écrire Un + 1 = A×Un + B 

                  où A est une matrice carrée d'ordre 2 et B une matrice que l'on précisera.

               REPONSE:

                     Soit n dans IN.

                                    an + 1  =  14 an − 15 bn + 3 

                                   bn + 1 = 10 an  − 11 bn  

                          peut s'écrire:

                      Matrice14

                     Ainsi en posant:

                             Matrice16

                              et en sachant

                   Matrice17

                       il vient  :

                      Conclusion:  Un + 1 = A Un + B     n est dans IN                           

            2. Soit X une matrice colonne de type ( 2 , 1 ).

                  a. Montrer que A×X + B = X   ⇔ ( I2 − A )×X = B  où

                   I2     désigne la matrice unité d'ordre 2.

                  On a :    A×X + B = X  qui  s'écrit    B = X  − A×X   

                                c-à-d     B =   ( I2 − A )×X = B

                      Conclusion : On a l'équivalence demandée.

                  b. Monter que la matrice   I2 − A  est inversible et a pour inverse

                      la matrice N  telle que :

                                         Matrice12

                    REPONSE:

                                On a :    

                             Matrice18

                    On a :     det(  I2 − A ) = − 13 × 12 − ( − 10 × 15 ) = − 6   non nul

                     Donc     I2 − A   est inversible.

                      On a :    

                           Matrice19

                         Conclusion:                 (  I2 − A ) − 1   = N 

                 c. Montrer que  A×X + B = X   ⇔ ​X = N × B  

                     Vérifier que: 

                                           Matrice13

                   REPONSE :

                    On a vu que:        A × X + B = X   ⇔ ( I2 − A ) X = B

                    Mais         ( I2 − A ) X = B  s'écrit   X =  ( I2 − A )− 1   B 

                                                                c-à-d   X = N×B

                        Comme

                                      Matrice13 

                     A×X + B = X   équivaut à   ( I2 − A ) X = B    c'est-à-dire à

                                                               Matrice20

                   Conclusion:  On a la double équivalence demandée                                            

               3. On pose, pour tout n dans IN,   Vn = Un − X .

                 a. Montrer que  Vn + 1 = A Vn   pour tout n dans IN.

                 REPONSE:

                   Soit n dans IN.

                  On a :       Vn + 1 = Un + 1 −  X

                    Or       Un + 1   =  A × Un  + B         et   on a vu    X = A× X + B 

                 Donc :     Vn + 1 =  A ×  Un   +  B   − ( A × X + B    )  

                 Ainsi :   Vn + 1 =  A ×  Un  − A × X

                  c-à-d               Vn + 1 =  A× ( Un  − X )     en factorisant a

                 Or                                              Un  − X =  Vn  

                D'où        Vn + 1  =  A ×  Vn    pour tout n dans IN

                   Conclusion:  l'égalité est prouvée sur IN.

               b. En déduire par récurrence sur IN*, que  Vn = An V0   pour tout n dans IN*.                                                          

                 REPONSE:

                    • n= 1

                           On a:      V0 + 1 = A V0

                          d'après la question précédente.

                         Donc on a l'égalité pour n = 0

                   • Soit n dans IN* quelconque n = 1 .

                       Montrons que si Vn = An V0    alors   Vn + 1 = An + 1 V0  

               Considérons:  

                                             Vn = An V0

                  Alors                 A   Vn = A  × An V0

           c-à-d                          A Vn  =   An + 1 V0

             Mais                        A Vn = Vn + 1 

             Donc          Vn + 1   =    An + 1 V0

                Conclusion:   Le résultat sur IN* est avéré

      4. On admet à présent que pour tout n dans IN*:

                   Matrice9           

                a. En déduire Vn  en fonction de n pour tout n dans IN*.

                 REPONSE :

                        V0 =  U0 − X

                  Or

                     Matrice20   et        Matrice23

               Donc   

                                             Matrice24 1

                Traduisons  Vn = An   V0   en fonction de n

           Matrice25

        c-à-d   

        Matrice26

              c-à-d

                                  Matrice27 

              b. En déduire  an et bn en fonction de n.   

    ​            On a :                Un = Vn + X 

               Il suffit de rajouter X à Vn pour avoir  Un   

              Ainsi:    

                             Matrice30

                Comme  

                                  Matrice11

                       Il vient :

                            Conclusion:      

                                   Matrice29

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