INFO EX2 DV Spé maths sept 2016
EXERCICE 2
On considère les deux suites ( an ) et ( bn ) définies par:
a0 = 1 b0 = 0
an + 1 = 14 an − 15 bn + 3 pour tout n dans IN
bn + 1 = 10 an − 11 bn
On note pour tout n dans IN :
1. Montrer que pour tout n dans IN , on peut écrire Un + 1 = A×Un + B
où A est une matrice carrée d'ordre 2 et B une matrice que l'on précisera.
REPONSE:
Soit n dans IN.
an + 1 = 14 an − 15 bn + 3
bn + 1 = 10 an − 11 bn
peut s'écrire:
Ainsi en posant:
et en sachant
il vient :
Conclusion: Un + 1 = A Un + B n est dans IN
2. Soit X une matrice colonne de type ( 2 , 1 ).
a. Montrer que A×X + B = X ⇔ ( I2 − A )×X = B où
I2 désigne la matrice unité d'ordre 2.
On a : A×X + B = X qui s'écrit B = X − A×X
c-à-d B = ( I2 − A )×X = B
Conclusion : On a l'équivalence demandée.
b. Monter que la matrice I2 − A est inversible et a pour inverse
la matrice N telle que :
REPONSE:
On a :
On a : det( I2 − A ) = − 13 × 12 − ( − 10 × 15 ) = − 6 non nul
Donc I2 − A est inversible.
On a :
Conclusion: ( I2 − A ) − 1 = N
c. Montrer que A×X + B = X ⇔ X = N × B
Vérifier que:
REPONSE :
On a vu que: A × X + B = X ⇔ ( I2 − A ) X = B
Mais ( I2 − A ) X = B s'écrit X = ( I2 − A )− 1 B
c-à-d X = N×B
Comme
A×X + B = X équivaut à ( I2 − A ) X = B c'est-à-dire à
Conclusion: On a la double équivalence demandée
3. On pose, pour tout n dans IN, Vn = Un − X .
a. Montrer que Vn + 1 = A Vn pour tout n dans IN.
REPONSE:
Soit n dans IN.
On a : Vn + 1 = Un + 1 − X
Or Un + 1 = A × Un + B et on a vu X = A× X + B
Donc : Vn + 1 = A × Un + B − ( A × X + B )
Ainsi : Vn + 1 = A × Un − A × X
c-à-d Vn + 1 = A× ( Un − X ) en factorisant a
Or Un − X = Vn
D'où Vn + 1 = A × Vn pour tout n dans IN
Conclusion: l'égalité est prouvée sur IN.
b. En déduire par récurrence sur IN*, que Vn = An V0 pour tout n dans IN*.
REPONSE:
• n= 1
On a: V0 + 1 = A V0
d'après la question précédente.
Donc on a l'égalité pour n = 0
• Soit n dans IN* quelconque n = 1 .
Montrons que si Vn = An V0 alors Vn + 1 = An + 1 V0
Considérons:
Vn = An V0
Alors A Vn = A × An V0
c-à-d A Vn = An + 1 V0
Mais A Vn = Vn + 1
Donc Vn + 1 = An + 1 V0
Conclusion: Le résultat sur IN* est avéré
4. On admet à présent que pour tout n dans IN*:
a. En déduire Vn en fonction de n pour tout n dans IN*.
REPONSE :
V0 = U0 − X
Or
et
Donc
Traduisons Vn = An V0 en fonction de n
c-à-d
c-à-d
b. En déduire an et bn en fonction de n.
On a : Un = Vn + X
Il suffit de rajouter X à Vn pour avoir Un
Ainsi:
Comme
Il vient :
Conclusion:
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