TRANSFORMATIONS ET BARYCENTRES

 TRANSFORMATIONS ET BARYCENTRES              1S      OCT. 09

         1. Translation de vecteur :  

           A tout point M du plan ( respectivement de l'espace ) elle associe le point M '

        du plan ( respectivement de l'espace ) tel que:

                          

                Figure: 

            

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          2. EXERCICE.

             Soit A , B , C trois points du plan .

             Quelle est la nature de la transformation qui à tout point M du plan

             associe le point M' tel que:

                        ?               

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     Réponse :

                           1 + 2 - 3 = 0

                    Ainsi le vecteur  

                   est constant c'est-à-dire indépendant du choix du point M.

                   Pour M = C on obtient donc :

                                                                   

                     Ainsi            devient   

                           Figure :  

                                        

                     Conclusion : La transformation qui à tout point M  associe le point M'

                                       est la translation de vecteur:         

                                                     .

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   3. HOMOTHETIE.

                 a. Définition.

                 Soit I un point du plan . 

                 Soit k un réel non nul.

                L'homothétie de centre I et de rapport k , notée h( I ; k ) ,

                à chaque point M du plan associe le point M' défini par

                l'égalité vectorielle suivante: 

                                         

                     Figures:

                         •  Pour k = 2

                                                 

 

                          •   Pour k = - 2

                                                        

                                         Quand le point M est en I alors le point M' est en I aussi.

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                         b. PROPRIETE

                                        Soit l'homothétie h ( I , k ).

                                Soit A et B deux points tels que  h( A ) = A'  et h( B )= B'.

                                  Alors :

                                              

                                           D'où  :

                                                      

                                              Figure  ( pour k = 2 )

                                              

                                            

                                 Explication:

                                              On a :

                                                          

                                               D'où l'égalité des normes:

                                                              

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                     c. CONSEQUENCE.

                                       Une homothétie transforme une droite en une droite parallèle.

                               Une homothétie transforme un cercle de centre O et

                               de rayon R en un cercle de centre O ' = h(  O ) et de rayon

                               R' = | k | × R.

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                         4. EXERCICE.                  

                                               Soit ABC un triangle quelconque de centre de gravité G.

                              Quel est l'ensemble des point M'  tels que :

                                                        

                               lorsque le point M décrit le cercle C ( O ; 1 ) ?

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        Réponse:

                   1 - 1 + 3 ≠ 0

         Soit G' le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) , ( B , - 1 ) et ( C , 3 ).

         D'après la propriété fondamentale on a:

         

           Ainsi l'égalité      se traduit par :

                        

            Le point M' est donc l'image du point M par  l'homothétie h( G' , - 2 ).

               M décrit le cercle ( C )  de centre O et de rayon  1 . Donc M' décrira  l'image de ce cercle par cette homothétie,

              c-à-d  M décrira  le cercle de centre le point J = h( O ) et de rayon R' = | - 2 |  × R.

              L'ensemble des points M' tels que    

              est le cercle de centre O ' et de rayon 2 R.

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