ENTIER RELATIF EN BASE 2

        ENTIER RELATIF EN BASE 2   :  BIT DE SIGNE  SIMPLE :  BIT DE SIGNE AVEC COMPLEMENT A 2  

                               Janvier 2012    BTS1                    

                                                          Donc deux méthodes.

                                             Soit N un entier tel que:  -127 ≤ N ≤ 127

  •  La première méthode est surtout utilisée  quand     0 ≤ N ≤ 127.

     On écrit N en binaire avec au plus 7 bits (  en complétant à gauche par des 0 pour qu'il y ait  7 bits )  

     On rajoute à gauche un huitième bit qui est 0.                         

                 (         0                                      •      •         •     •       •                 )

                BIT du signe + de N          Ecriture binaire de | N | c-à-d de N avec 7 bits

  • Une variante de la seconde méthode " Complément à 2 " utilisée quand -127 ≤ N < 0.

        On calcule en base 10          256 + N

        On écrit en base 2        le nombre 256 +N     on obtient les huit octets qui traduisent N                     

                  (         1                                     •      •         •     •       •              )A2

                BIT du signe - de N          En fait l'criture binaire de | N | avec 7 bits

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     ATTENTION  LES DEUX METHODES NE DONNENT PAS LA MËME CHOSE.

      Le label  A2  pour dire Complément à 2 est pour la seconde méthode et sa variante

      seulement.

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 .I. METHODE AVEC UN BIT DE SIGNE SIMPLE(pour un entier relatif entre - 127 et 127)

         Soit N un entier relatif  compris entre   - 127 et 127  ( en système décimal )

         Cette convention ne permet donc de coder que 255 entiers relatifs seulement.

                Les 128 entiers naturels :    0; 1 ; 2 ;  .... ;  127

                Les 127 entiers négatifs :     - 127 ;  - 126 ; ....  ; - 1

                Le motif c'est que en base 2 la VALEUR ABSOLUE de l'entier relatif doit

                s'écrire avec seulement 7 bits. 

                LE HUITIEME BIT RAJOUTE A GAUCHE EST RESERVE POUR LE SIGNE.

                 Or à partir de (128 )10   il faut plus de 7 bits pour écrire un

                 entier naturel en base 2.

                 (128 )10 = 27    = ( 1000 0000 )2

              La techniqueest la suivante : 

              Soit   -127 ≤ N ≤ 127

             On écrit l'entier relatif N à l'aide de huit bits 0 ou 1.

              (         •                                   •   •     •   •   •            )2 

                BIT du signe de N          Ecriture binaire de | N | 

              Le premier bit à gauche ( celui dit de poids le plus élevé ) est :

               0    si N est positif.                  Donc    N = (   0  •  )2

              1     si  N est négatif.               Donc    N = (   1  •  )2

              Les 7 bits suivants servent pour écrire la valeur absolue de N.

               Exemple:

                Soit N = ( 127 )10      Ona bien   -127 ≤ N ≤ 127

                   N est de signe +

                  Le bit de signe sera 0.

                 | N | =  | 127 |  = 127      dans le sytème décimal.

                   127  =  26 + 25 + 24 + 43 + 22 + 21 +2= ( 111 1111 )2

               Donc              | N | = ( 111 1111 )

               Donc             N = (   0 111 1111 )2

            
  
            Exemple :

                 Soit N = ( - 127 )10        On a bien  -127 ≤ N ≤ 127

                 N est de signe -

                | N | = | - 127 |  =  127     

                Mais     127 =  26 + 25 + 24 + 43 + 22 + 21 +20     

               Donc   | N | = | 127 | = ( 111 1111)

               Donc:              N = (   1 111 1111 )2

         • Inconvénient  de la méthode: Pour 0 on peut considérer - 0  ou + 0

           C'est donc aussi bien ( 1 000 0000 )    que ( 0000 000 )

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   .II.  METHODE AVEC UN BIT DE SIGNE à l'aide " Complément à 2  )pour un entier relatif entre - 127 et 127)

              Soit N un entier relatif .

              Il y a encore le bit de poids fort qui est utilisé pour le signe.

              On admet ici qu'un entier est représenté par n bits .        

         Partie 1

                    n = 8  si l'on représente un entier relatif par un octet.  ( •    )A2

                    Soit N entier relatif tel que  - 127 ≤ N ≤  127

                    Il y a donc 255 entiers relatifs codables de cette façon .

                    Les entiers naturels de 0 à 127

                    Les entiers négatifs de - 127 à - 1                

                    | N | a une écriture binaire avec 7 bits seulement .

                   On change 0 en 1 et 1 en 0 dans l'écriture binaire | N |.

                   On obtient NON | N |.

                   Puis on considère   NON | N | + 1   sans compter de retenue à la fin  .

          • Premier cas :        N est positif.            

              Exemple:      

                    N = 38

                    N est bien  tel que 0 ≤ N ≤ 127

                    N est de signe +

                   Le bit de signe est donc   0  

                   | N | = 38 = 25  + 22 +  21    = ( 010 0110)2         avec 7 bits             

                    | N |    changé   NON | N | + 1                                                           

                     010 0110 → 101 1001 + 1 = 101 1010

                    Ainsi :     N =(  0  101 1010 )A2

                    ( 38  )10  = 0  101 1010 )A2

         • Second  cas :     N entier négatif             

                     N = (- 38 )10

                    N est bien  tel que -127 ≤ N <0

                    N est de signe -

                   Le bit de signe est donc  1

                   | N | = | - 38  | = 25  + 22 + 21    = ( 010 0110)2                      

                    | N |    changé   NON | N | + 1                                                           

                     010 0110 → 101 1001 + 1 = 101 1010

                    Ainsi :     N =(    101 1010 )A2

                        N =  ( - 38  )10  = 1   101 1010 )A2

       Partie 2              Uniquement pour N entier négatif : - 127 ≤  N <0

                   Pour n =8

             c-à-d dans le cas où la représentation de N se fait avec un octet.

         La méthode revient à considérer:   2  - | N |  puis à l'écrire en système binaire                          

           par exemple :

                  • Reprenons    N = - 38

                     En base 10          (256)10 - | N | =  ( 256 )10 - |- 38 | =   ( 218 )10 

                   Mais :

    ( 218 )10 = 1×27+ 1×26+ 0×25 +1×24 +1×23  +0×22+1× 21 + 0× 20= ( 1101 1010 )2

                       On avait   trouvé  N = (1   101 1010 )A2

                       2  - | N |    est donc bien un moyen de trouver l'écriture de N , entier négatif,

                  avec le complément à 2 quand N est représenté par un octet.

            C'est généralisable à n ≠ 8  :                

   2n   - | N |   écrit en binaire  est  un moyen de trouver directement l'écriture de N , entier négatif,

                  avec le complément à 2 quand N est représenté par n bits.

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     . III.   EXERCICES :

             EX1.

               Soit N = - 40    dans le système décimal.

              Trouver de trois façons différentes son écriture binaireavec un octet.

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            Réponse:    On a :    - 127 ≤ N < 0

           •  Une variante de la méthode du  complément à 2.

               En système décimal :    256 + N = 256 - 40 = 216

                      ( 216 )10    = 27+ 26 + 2+  23    = ( 1101 1000 )2

             Conclusion :   - 40 est représenté  par ( 1101 1000 )A2      en binaire

             Le bit du signe - s'est placé automatiquement à gauche.

             •  La méthode du Complément à 2.    

                   Le bit de signe - est   1

                   | N | = | - 40 | = 40= 32 + 8

                   40 = 25 + 23   = ( 101000)2      

                   On rajoute 0 à gauche pour avoir 7 bits

                    40 = ( 0101000)2     avec 7 bits

                   On change les 1 en 0 et les 0 en 1

                    NON(  0101000 )2      devient    (1010111)2

                       On ajoute 1.

          Retenues           111

                            1 010111

                       +              1

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                             1011000

                      | N | = 40  est traduit par ( 1011000)

                     On complète  avec le bit 1 à gauche      

                     Conclusion :   - 40 est représenté par   ( 1 101 1000)A2       

                    Même résultat.

                • La méthode du bit de signe complémentaire.

                     Le bit de signe - est 1

                      | - 40 | = 40

                         40 = 25 + 23   = ( 101000)2     

                         On rajoute 0 à gauche pour avoir 7 bits

                          40 = ( 0101000)2     avec 7 bits

                         On complète  avec le bit 1 à gauche 

                        Conclusion :   - 40 est représenté par   ( 1 010 1000)       

                       ATTENTION :  la représentation de - 40  n'est pas celle obtenue avec

                                             le complément à 2. On ne peut pas mettre A2

                                              en bas à droite.

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           EX 2                                

                 Soit    N = 40    dans le système décimal.

              Trouver deux  façons différentes d'écriture binaire de N  avec un octet.

               ( les deux représentations sont différentes. )

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   Réponse:

                •  La méthode du Complément à 2.    

                   Le bit de signe +  est  

                   | N | = |  40 | = 40 = 32 + 8

                   40 = 25 + 23   = ( 101000)2      

                   On rajoute 0 à gauche pour avoir 7 bits

                    40 = ( 0101000)2     avec 7 bits

                   On change les 1 en 0 et les 0 en 1

                    NON(  0101000 )2      devient    (1010111)2

                       On ajoute 1.

          Retenues           111

                            1 010111

                       +              1

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                             1011000

                      | N | = 40  est traduit par ( 101 1000)

                     On complète  avec le bit 0 à gauche      

                     Conclusion :    40 est représenté par   ( 101 1000)A2       

                  •La  variante de la méthode du Complément à 2  ne peut se faire car 40 est positif..

                   • La méthode du bit de signe complémentaire.

                     Le bit de signe + est 0

                      | 40 | = 40

                        40 = 25 + 23   = ( 101000)2     

                         On rajoute 0 à gauche pour avoir 7 bits

                          40 = ( 0101000)2     avec 7 bits

                         On complète  avec le bit 0 à gauche 

                        Conclusion :    40 est représenté par   ( 0 010 1000)       

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